Die Vergleichssterne in Objektnähe (Veränderlicher, Kleinplanet o.a.) erhalten die Buchstaben a,b,c,d...usw. in Reihenfolge abnehmender Helligkeit. Stern a etwas heller als der
Veränderliche v im Maximum. Bei 4 Vergleichssternen ist der 4. Stern d noch etwas dunkler als der Veränderliche im Minimum.
Die Helligkeit des Veränderlichen v zwischen 2 Vergleichssternen wird in folg. Form angeordnet: a 2 v 1 b. Stern a 2 Stufen heller als der variable Stern v und v 1 Stufe heller als Vergleichsstern b. Der
hellere Stern wird stets links vom schwächeren angeordnet. a 2 v = Stern a 2 Stufen heller als v.
b -1 v = Stern b 1 Stufe schwächer als v. Der Veränderliche (Objekt) immer rechts, die Vergleichssterne links anordnen, wobei schwächere Vergleichssterne als der Veränderliche ein negatives Vorzeichen erhalten. Diese
Schreibweise mit positiven und negativen Stufen verwende man stets für Berechnungen mit Stufenwerten nach Argelander. Lange Beobachtungsreihen liegen nicht dem bürgerlichem Kalender zugrunde; denn die Angabe von Minima und Maxima
Zeitpunkten im Julianischen Datum ergibt die Zeitdifferenzen in Tagen sofort. Z. B. 1.1.2000, 0h = JD 2451545.5 +15h12m UT (15+12/60m)/24 = JD 2451546.1333. Stunden und Minuten in Tagesbruchteilen. Invers:
JD 2451546.1333 = 1.1.2000, 15h12m UT. Das Verfahren wird oft bei langperiodischen Veränderlichen (z. B. Mirasternen) verwendet, da man die Größenklasse des Veränderlichen sofort erhält. Beim Verfahren nach F.W.A. Argelander werden die Stufenschätzungen
langperiodischer Veränderlicher erst am Ende einer langjährigen Beobachtungsreihe in Helligkeit umgerechnet. Wie bereits erwähnt, sollte die Helligkeitsdifferenz der zwei Sterne, die mit dem Veränderlichen verglichen werden, bei etwa 0.5
mag liegen. Die Helligkeitsdifferenz zwischen 2 Vergleichssternen erhält stets den Wert 10 Stufen, in die der Veränderliche nach sorgfältigem Hin- u. Herschauen einzustufen ist. Beispiel. Helligkeit Vergleichssterne a=7.11 mag,
b=7.62 mag, c=8.10 mag. Ist Stern b gerade heller als der Veränderliche v, schätzt man b 3 v 7 c = Verhältnis 3:7 = Helligkeit Stern b 3/10 heller als v und v 7/10 heller als c.
b 5 v 5 c (Verhältnis 5:5 = Helligkeit v liegt genau in der Mitte) b 0 v 10 c (b und v gleich hell, v 10 Stufen heller als c) Oder b 10 v 0 c (c und v gleich hell, b 10 Stufen heller als v) b 8 v 2 c
= Verhältnis 8:2. Stern c minus b = 0.48 mag Differenz / 10 = 1 Stufe 0.048 mag. 8/10 sind = 0.38 mag. Der Veränderliche v ist 8 Stufen bzw. 0.38 mag schwächer als Stern b, also b=7.62+0.38 = v 8.00 mag hell. Schätzt man Stern b zu 8
Stufen erhält man automatisch c zu 2 Stufen. Geübte
Beobachter erreichen mit diesem Verfahren eine Genauigkeit von ±1 Stufe. Beträgt der Fehler 2 Stufen ist das Ergebnis auf 2 mal 1 Stufe 0.048 mag = ±0.096 mag genau. Die erste Stufenschätzmethode stammt von W. Herschel. Argelander hat die Methode übernommen und Herschels Schreibweise mit Strichlängen oder einzelner Striche durch 1
bis 4 Stufen ersetzt. Die Stufenschätzmethode nach Argelander ist heute die am meisten verwendete und genaueste. Den Veränderlichen mit zwei Sternen bekannter Helligkeit, die ein wenig heller und dunkler sind, vergleichen und den
Helligkeitsunterschied mit 0-4 Stufen durch einprägsames Hin- u. Herschauen bewerten. Wegen der unterschiedlich lichtemfindlichen Stellen der Netzhaut, kann man mehrere durch indirektes oder direktes Sehen in verschiedenen Positionswinkeln
gewonnene Schätzungen mitteln.
Beobachtungsregel nach Argelander: Stufe 0:
Erscheinen mir beide Sterne (Vergleichsstern a und Veränderlicher V) immer gleich hell oder möchte ich bald den einen, bald den anderen ein wenig heller schätzen, so nenne ich sie gleich hell. Schreibweise: a 0 V oder V 0 a .
Stufe 1:
Kommen mir auf den ersten Anblick zwar beide Sterne gleich hell vor, erkenne ich aber bei aufmerksamer Betrachtung und wiederholtem Übergange von a zu V und V zu a entweder immer oder doch nur mit sehr seltenen Ausnahmen a für eben bemerkbar heller, so nenne ich a um eine Stufe heller als V und bezeichne dies durch a 1 V, ist hingegen V der hellere, durch V 1 a, so daß immer der hellere vor, der schwächere hinter der Zahl steht.
Stufe 2:
Erscheint der eine Stern stets und unzweifelhaft, deutlich heller als der andere, so wird dieser Unterschied für zwei Stufen angenommen und durch a 2 V bezeichnet, wenn a, hingegen durch V 2 a, wenn V der hellere ist. Stufe 3:
Eine auf den ersten Anblick ins Auge fallende, sofort auffällige Verschiedenheit gilt für 3 Stufen und wird durch a 3 V oder V 3 a bezeichnet. Stufe 4:
Endlich bedeutet a 4 V eine noch auffallendere, große Verschiedenheit zugunsten von a, oder V 4 a, wenn V heller ist. Stufe 5: Noch größerer Unterschied als bei Stufe 4. Stufe 4 ist noch einigermaßen sicher zu schätzen. Die
Schätzungen streuen stärker mit wachsender Stufenhöhe die daher geringer gewichtet werden. Den Unterschied 4ter und 5ter Stufe können nur langjährig geübte Beobachter noch eben erfassen. Um Helligkeitseindrücke der Stufen 1-5 genau kennen
zu lernen, entnimmt man die Helligkeiten der Sterne eines offenen Sternhaufens (M45 Plejaden Fig. 19a, M44 Praesepe Fig. 22, die Sternhaufen h und chi im Perseus) einem Sternkatalog und vergleicht die Stufenunterschiede 0-5 im Intervall
0.05-0.25 mag oder 0.1-0.5 mag. Diese Prüffelder sind zum Training und Einprägen der Stufen immer wieder aufzusuchen. Bei 0.05 mag Schätzgenauigkeit pro Stufe können manchmal außer ganzen Stufen auch halbe Stufen (a 2.5 V) geschätzt
werden. Dann sind Vergleichssterne notwenig, die bis auf 3 Stufen (=0.15 mag) in den Helligkeitsbereich des Vergleichssterns gelangen, wobei 5 Stufen 0.25 mag ausmachen. Bei Verwendung ganzer Stufen wird man sogar über die Stufe 5
hinausgehen müssen.
Stufenschätzung
Die Helligkeitsdifferenz zwischen einem Vergleichsstern und dem Objekt sollte >0.4-0.5 mag nicht übersteigen.
Solche Sterne sind nur zum Vergleich geeignet, die gegenüber dem Veränderlichen mindestens 3 Stufen (etwa 0.3 mag) Helligkeitsunterschied erreichen.
Hier wird grundsätzlich mit der folg. Schreibweise gerechnet, die auch mit Computer besser auszuwerten ist.
Das JD (Julianische Datum) beginnt um 12 Uhr mittags. 0h UT bezogenen JD haben daher die Endung 0.5. 0.1333d
liegen nach 12 Uhr mittags + 0.5 = 0.6333*24h = 15.2 Uhr = 15h12m UT.
Verhältnismethode nach Pickering (auch Interpolations- oder Bruchmethode genannt)
Schätz man hingegen umgekehrt Stern v 3 c, ergibt sich b 7 v 3 c. Das Mittel aus zwei Schätzungen beträgt dann (8+7)/2 = b 7.5 v 2.5 c = (2+3)/2.
Größenklasse des Veränderlichen nach der
Agelanderschen Methode. Beispiel: Schätzung b 4 v 1 c. Zusammen 4+1=5 Stufen = 0.48 mag = 1 Stufe 0.48/5 = 0.096 mag. Veränderlicher 4 Stufen = 0.38 mag schwächer als Stern b. Helligkeit des Veränderlichen 8.00 mag.
Stufenschätzmethode nach Argelander (1799-1875)
Die Beobachtungen besser homogen halten und stets mit der gleichen Stelle der Netzhaut vornehmen (evtl. durch Beobachtung im Nord-Süd-Kreis oder entsprechende Drehung des Zenitprisma).
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Die Schätzung wird durch Kombination der Stufenschätz- mit der Verhältnismethode erheblich sicherer. Der Helligkeitsunterschied b-v und v-c ist nach der Verhältnismethode einzuschätzen. b 2 v 2 c ergibt ein
2:2 Verhältnis. Die Helligkeit des Veränderlichen v läge genau zwischen b und c. c wird jedoch geringfügig lichtschwächer empfunden, so daß ebenfalls das Verhältnis 2:3 bzw. b 2 v 3 c vorliegt.
Beispiel: a 3 v. Wird der Helligkeitsunterschied a-v doppelt so groß wie v-b empfunden, schreibt man a 3 v 6 b, etwas weniger oder mehr a 3 v 5 b oder a 3 v 7 b.
Die Argelandermethode erfordert einigen Rechechenaufwand, der mit programmierbaren Taschenrechnern oder Computern schnell zu erledigen ist. Die Kenntnis der Vergleichssternhelligkeiten in Größenklassen
(magnitudo) ist anfangs wegen der Stufenzuordnung nicht notwendig. Unterbricht eine Schlechtwetterperiode die Beobachtung, ist in machen Fällen ein völlig neues Paar Vergleichssterne zu wählen, so daß die Beobachtung neu beginnen muß. Bei »v 0 x« darf der Veränderliche immer nur zwischen dem bereits verwendeten und neu gewählten Stern verglichen werden (z. B. 7. Juni: b 1 v 0 c = Vergleichsstern b-c; 9 Juni: c 1 v 2 d = Vergleichsstern c-d).
Vergleich mit 2 Sternen. Beobachtungsreihe: Juni 1 21h18m b 1 v 3 c = 4 b-c Stufenwerte.
Formel (sta = Stufe a, stb = Stufe b usw.): a sta V (z. B. a 2 V)
Die Stufen der Vergleichssterne b-c, c-d und d-e addieren und den Mittelwert bilden. Vergleichssterne a-b (6 Beobachtungen): da (8+5+5+5+8+5.5)/6 = Mittelwert ma 6.08 Stufen. b-c (11 Beobachtungen): db (4+7+4+1+6+6.5+5+7+6+6+4)/11 = Mittelwert mb 5.14 Stufen. c-d: dc (3+4+4+2+3.5+4)/6 = Mittelwert mc 3.42 Stufen. Mittlerer Fehler. Vergleichssterne a-b:
8 - ma 6.08 = 3.6864 (Quadrat der Differenz) Summe der Quadarte: [vv]=11.2084. n=Anzahl der Einzelwerte. Standartabweichung (Streuung der Werte): Vergleichssterne a-b: n=6; [vv]=11.2084. Vergeichsterne b-c: n=11;
[vv]=32.0456. Vergleichssterne c-d: n=6; [vv]=3.2084. Mittlerer Fehler des Mittelwertes (mw): f = n=6; n*(n-1)=6*5=30. Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern a-b: ma 6.08 ± fa 0.61 Stufen. Mittl. Fehler einer Einzelschätzung:
Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern b-c:
mb 5.14 ± fb 0.54 Stufen. Mittl. Fehler einer Einzelschätzung:
Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern c-d: mc 3.42 ± fc 0.33 Stufen. Mittl. Fehler einer Einzelschätzung: Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Wert innerhalb der Schranken mw ± f liegt beträgt 68.3 %, und
99.7 % innerhalb der Grenzen mw ± f mal 3. Die Aussagekraft des mittleren Fehlers ist für n<10 allerdings gering. Stufenskala der Vergleichssterne. a = 0.00 usw. Der hellste Vergleichsstern ist Nullpunkt, der dann stets die Stufe 0.00 erhält. Die Vergleichssterne haben dann folg. aufsummierte Stufen: Vergleichsstern. a: 0.00 Stufen Helligkeit in Größenklassen der Vergleichssterne lt. Sternkatalog. a: 7.01 mag. Der Helligkeitsunterschied einer Stufe entspricht dem persönlichen Stufenwert, der i.a. 0.05-1.2 mag ausmacht. Der von Beobachtungsnacht zu -nacht etwas fluktuierende persönliche Stufenwert wird mit
zunehmender Übung bzw. Homogenität der Beobachtung nahezu konstant. Vergleichsstern d 8.45 - a 7.01 mag = 1.44 mag / 14.64 Stufen = persönlicher Stufenwert 0.098 mag. Oder genauer:
b 7.60 - a 7.01 = 0.59 mag / ma 6.08 Stufen = 0.097 mag Mittelwert.
Persönlicher Stufenwert: 0.095 mag ± 0.014 mag. Stufenwert des Veränderlichen. 1. Methode: Beobachtung 1. Juni (s. Beobachtunsgreihe w. o.)): b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der
Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen. b 6.08 + 1 Stufen = 7.08 Stufen (b 1 Stufe heller als v)
Mittelwert: (7.08+8.22)/2 = Stufenwert des Veränderlichen 7.65 ± 0.57 Stufen. Dieser Stufenbetrag ist allderdings nicht ganz exakt, da die 1 Stufe wesentlich sicherer geschätzt wird als
höhere mit wesentlich größerer Streuung. Da die 1 Stufe am präzisesten geschätzt werden kann, erhält diese im allg. doppeltes Gewicht. Es empfiehlt sich folg. Gewichte (p) zu verwenden:
Stufe 0-1: p = 10
7.08 Stufen * p 10 = 70.8 (Stufe 1), 8.22 * p 2 (da Stufe 3) = 16.44 = (70.8+16.44)/(p 10 + p 2) = 7.27 ± 0.43 Stufen, oder wenn man der 1 Stufe nur ein doppeltes Gewicht zuteilt: (14.16+8.22)/3 = 7.46.
Beobachtung 5. Juli: a 5 v 3 b (=a 5 v, b -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne a=0.00 Stufen und b=6.08 Stufen. a 0.00 + 5 Stufen = 5 Stufen * p Gewicht 1 = 5 Stufen Mittelwert: (5+6.16)/3 = Stufenwert des Veränderlichen 3.72 ± 0.91 Stufen. Methode 2:
Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen. Differenz c-b = mb 5.14 Stufen. b 1 v (v ist 1 Stufen schwächer als b) Verhältnis 1:3. mb 5.14 Stufen/(1+3) Stufen = 1.285 Stufe (»Stufenwert des Abends«). 1 Stufe 1.285 * b 1 = 1.285 + b 6.08 Stufen = Stufenwert des Veränderlichen 7.37 Stufen (gewichtete Stufe 7.46).
Schätzung 5. Juli: a 5 v 3 b (=a 5 v, b -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne a=0.00 Stufen und b=6.08 Stufen. Differenz b-a = ma 6.08 Stufen.
Verhältnis 5:3. ma 6.08 Stufen/(5+3) Stufen = 0.76 Stufen (»Stufenwert des Abends«). 1 Stufe 0.76 * a 5 = 3.8 + a 0.00 Stufen = Stufenwert des Veränderlichen 3.8 Stufen (gewichtete Stufe 3.72). Nahezu zur gleichen Zeit gemachte Beobachtungen können zu einem Mittelwert zusammengefaßt werden. Beobachtung:
12.1.91 15.1.91 17.1.91 20.1.91 usw. a 1 v a 2 v a 4 v a 6 v Die Stufen der Vergleichssterne a,b, c, d addieren und den Mittelwert bilden.
Vergleichssterne a-b [4 Beobachtungen: a 1 - (b -2) = 3]: da (3+4+5+3)/4 = Mittelwert ma 3.75 Stufen. Vorteilhafter sind natürlich weit mehr Beobachtungen. Stufenskala der Vergleichssterne. a = 0.00 (3.75 Stufen zwischen a-b)
Der Veränderliche ist nicht unbedingt immer mit einem etwas helleren und dunkleren Stern zu vergleichen, obwohl die Genauigkeit dadurch erhöht wird. Die Reihenfolge der Helligkeiten, wonach der hellste
Vergleichsstern mit a und der nächstschwächere mit b,c,d usw. bezeichnet wird, ist dagegen zu beachten. Methode 1: Messung vom 12.1.91: Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 ± 0.21 Stufen.
Der Stufenwert des Veränderlichen wird in analoger Weise für jede Beobachtung bestimmt. Methode 2: Messung vom 12.1.91: ma 3.75/(+1-(-2)) = 1.25 * a +1 = 1.25 + a 0.00 = 1.25 * p 10 = 12.5
Mittelwert. (12.5+8.75+2)/(10+5+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.38 ± 0.20 Stufen. Mittlerer Fehler. Messung vom 12.1.91: a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10 Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 Stufen. (1.00 - 1.32)2
* p 10 = 1.024 (Fehlerquadrate)
Summe der gewichteten Fehlerquadrate: vv=2.3507 Mittlerer Fehler einer Einzelmessung vom Gewicht p=1. m= m 0.89 = Mittl. Fehler einer Einzelmessung vom Gewicht pi (i=1,2,3,..,n) mp=m/ Mittl. Fehler der Messung 1.00 * p 10: 1.00 ± 0.28 Stufen. Mittl. Fehler der Messung 1.75 * p 5: 1.75 ± 0.40 Stufen.
Mittlerer Fehler des Schätzwertes. mf=m/ Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 Stufen.
mf 0.21 = m 0.89/
Gewichteter Stufenwert des Veränderlichen: s 1.32 ± 0.21 Stufen. Mittelwert (s.o.): (12.5+8.75+2)/(10+5+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.38 Stufen. vv=1.2379. n=3. m = 0.79 Stufen.
mf 0.20 = m 0.79/
Gewichteter Stufenwert des Veränderlichen: s 1.38 ± 0.20 Stufen.
Zeit-Stufendiagramm. Die in der Stufenskala einiger Vergleichssterne (hellster Stern a=Stufe 0.00) bestimmten Stufenwerte des Veränderlichen (oder eines Kleinplaneten) kann man auf Millimeterpapier in
ein Koordinatennetz abtragen. Die rechte vertikale Ordinate (y-Leiter) bezeichnet die Stufenskala der Vergleichssterne, die linke Seite der Ordinate die zugehörigen Helligkeiten der Vergleichssterne, die
Abszisse (x-Leiter horizontal) die Beobachtungszeit (Julian. Datum JD). Periodenlänge, Kurvenverlauf und die exakten Zeitpunkte der Hauptphasen (Maximum und Minimum)
sind an der Lichtwechselkurve graphisch zu ermitteln. Die Bestimmung der Lichtwechselamplitude erfordert dagegen die Umrechnung der Stufenwerte in Größenklassen. Die Amplitude des Lichtwechsels ergibt sich durch Umrechnung der Stufen des Veränderlichen in Größenklassen.
Lineare Regression. Bedingungsgleichung: mag=a+b*s (s=Stufenwert). In fast allen Fällen kann eine lineare Korrelation zwischen den Meßgrößen angenommen werden. Der
Koeffizient a entspricht der Stufenskala für 0 Stufen (a=0.00) und somit der Helligeit des hellsten Vergleichssterns der Beobachtungsreihe. Der Koeffizient b entspricht dem magnitudo einer Stufe (meist 0.05-0.1 mag). Normalgleichung: n1 a + [x] b = [y] REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ± 1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe
Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y) r=(n1*[xy]-[x]*[y])/( Stufenskala: a: 0.00 Stufen Visuelle Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog. a: 7.01 mag.
Die Bedingungsgleichungen lauten: 7.01=a+b*0 REM GFA30 STUFENWERTE IN GRÖSSENKLASSEN
Die Koeffizienten der Ausgleichung sind hier mit a, b und c bezeichnet, die nicht mit den Stufenwerten a,b verwechselt werden dürfen.
Koeffizient b=0.101 ± 0.00516 mag Summe der Fehlerquadrate vv=0.006528, Korrelationskoeffizient r = +0.99739. Stufen in Größenklassen (Magnitudines): mag=(7.01 ± 0.05)+(0.101 ± 0.005)*s (Stufe) Auf Millimeterpapier horizontal (Absizze) die Stufen (s) und vertikal (Ordinate) die Helligkeiten (mag)
abtragen. Durch die Punkte wird die Ausgleichsgerade nach Augenmaß gezogen oder berechnet: mag=7.01+0.101*s. Die Beziehung zwischen Stufen u. Größenklassen kann dann am Diagramm
abgelesen werden. Der Computer ist für graphische Wiedergaben natürlich prädestiniert.
In den seltenen Fällen nichtlinearer Zusammenhänge, wenn z. B. sehr lang Beobachtungsreihen vorliegen, ist die Polynomausgleichung vorzuziehen. Polynomausgleichung 2. Grades - Bedingungsgleichung: mag=a+b*s+c*s2.
Normalgleichung: n1 a + [x] b + [xx] c = [y] REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE: [vv]=[yy]-[y] a - [xy] b - [xxy] c REM MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: s=[vv]/(n1-2-1); n1=Anzahl Bedingungsgleichungen.
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ±1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y) r= Stufenskala: a: 0.00 Stufen
Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog. a: 7.01 mag.
Die Helligkeit des Vergleichssterns b ist z. B. unbekannt oder fehlerhaft; oder nur einige Helligkeiten der Vergleichssterne sind bekannt, dann ermittelt man die unbekannte oder genaue Helligkeit aus der
bekannten Stufenskala mit Hilfe der Ausgleichsrechnung. Beispiel: Die Helligkeit des Vergleichssterns b ist unbekannt. Der Stufenwert beträgt 6.08. Für b wird dann in der
Ausgleichsrechnung die Helligkeit 0 (m(2)=0 in Progr. GFA30) eingesetzt (oder ein Schätzwert m(2)=0 oder m(2)=7). Man erhält dann für b=0 = 5.499=4.164 a +0.2196 b *6.08.
Als nächsten Schritt setzt man b = 5.499 ein (m(2)=5.499 in Progr. GFA30), man erhält 7.037=a+b*6.08, der wiederum eingesetzt (m(2)=7.04) 7.468=a+b*6.08, 7.59=a + b *6.08 usw. ergibt. Das Resultat der
schrittweisen Einsetzung (Iteration) ist die gesuchte Helligkeit b=7.63 mag = Stufenwert 6.08.
Wählt man Vergleichssterne gleich oder ähnlich der Farbe (Spekraltyp) des Veränderlichen, ist der Farbeffekt ausgeschlossen. Bei der visuellen Schätzung der Sternabbildungen auf
Schwarzweiß-Photographien tritt dieser Effekt natürlich gar nicht erst auf. Normalgleichung: n1 a + [s] b + [f] c = mag Die Variable f bedeutet der in Zahlen ausgedrückte Farbwert.
Beispiel: Schätzung nach Argelander b 2 v 3 c.
2 22h38m
b 4 v 3 c = 7
5 21h46m b 2 v 2 c = 4
7 22h20m
b 1 v 0 c = 1
9 21h50m c 1 v 2 d = 3 c-d
10 21h52m
c 0 v 4 d = 4
14 22h30m c 2 v 2 d = 4
18 22h17m c 2 v 0 d = 2
20 23h04m c 1 v 2.5 d = 3.5
22 21h15m c 3 v 1 d = 4
26 21h20m b 4 v 2 c = 6 b-c
30 21h10m b 3.5 v 3 c = 6.5
31 23h11m b 3 v 2 c = 5
Juli 4 20h50m b 2 v 5 c = 7
5 21h55m a 5 v 3 b = 8 a-b
6 22h02m a 3 v 2 b = 5
8 21h13m a 5 v 0 b = 5
13 20h03m a 2 v 3 b = 5
14 22h12m a 4 v 4 b = 8
15 22h56m a 2.5 v 3 b = 5.5
25 20h36m b 0 v
27 22h30m b 2 v 4 c = 6 b-c
28 21
h00m b 3 v 3 c = 6
29 23h01m b 2 v 2 c = 4
b stb V (z. B. b -3 V)
c stc V
d std V usw.
usw.
da=sta-stb
db=stb-stc
dc=stc-std usw.
5 - ma 6.08 = 1.1664
5 - ma 6.08 = 1.1664
5 - ma 6.08 = 1.1664
8 - ma 6.08 = 3.6864
5.5 - ma 6.08 = 0.3364
b = a + ma ±
c = b + mb ± Å(fa2+fb2)’
d = c + mc ± Å(fa
2+fb2+fc2)
b: 6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.
c 8.21 - b 7.60 = 0.61 mag / mb 5.14 Stufen = 0.119 mag
d 8.45 - c 8.21 = 0.24 mag / mc 3.42 Stufen = 0.070 mag
c 11.22 - 3 Stufen = 8.22 Stufen (c 3 Stufen schwächer als v)
Stufe 1.5-2: p = 5
Stufe 2.5-3: p = 2
Stufe 3.5-4: p = 1
b 6.08 - 3 Stufen = 3.08 Stufen * p Gewicht 2 = 6.16 Stufen
v 3 c (v ist 3 Stufen heller als c)
Vergleich mit 4...usw. Sternen derselben Schätzung
b -2 v b -2 v b -1 v b 3 v
c -3 v c -3 v c -2 v c 2 v
d -6 v d -5 v d -4 v d -2 v
b-c (4 Beobachtungen):
db (1+1+1+1)/4 = Mittelwert mb 1 Stufe.
c-d:
dc (3+2+2+4)/4 = Mittelwert mc 2.75 Stufen.
b = 3.75 Stufen (1 Stufe zwischen b-c)
c = 4.75 Stufen (2.75 Stufen zwischen c-d)
d = 7.50 Stufen
a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5 = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2 = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1 = 1.5
mb 1.00/(-2-(-3)) = 1.00 * b -2 = -2.00 + b 3.75 = 1.75 * p 5 = 8.75
mc 2.75/(-3-(-6)) = 0.92 * c -3 = -2.75 + c 4.75 = 2.00 * p 1 = 2
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5 = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2 = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1 = 1.5
(1.75 - 1.32)2 * p 5 = 0.9245
(1.75 - 1.32)2 * p 2 = 0.3698
(1.50 - 1.32)2 * p 1 = 0.0324
Umrechnung der Stufen in Größenklassen (magnitudo)
[x] a + [xx] b = [xy]
REM FEHLERQUADRATSUMME (F.Q.S.)
[vv]=[yy]-[y] a - [xy] b
REM MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG
s=SQR(vv/(n1-2))
REM MITTLERER FEHLER (M.F.) KOEFFIZIENT a
mfa=s*Å
([xx]/(n1*[xx]-[x]*[x]))
REM MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b
mfb=s*Å(n1/(n1*[xx]-[x]*[x]))
PRINT mfb
REM MITTL. FEHLER mag ± m.
m=Å(mfa+(b*mf)2+(mfb*s)2); s=Stufe des Veränderlichen ± mf mittl. Fehler
b: 6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.
7.60=a+b*6.08
8.21=a+b*11.22
8.45=a+b*14.64
DIM p(20,20),ko(10),s(8),m(8)
REM STUFENSKALA VERGLEICHSSTERNE
s(1) = 0
s(2) = 6.08
s(3) = 11.22
s(4) = 14.64
REM GROESSENKLASSE DER VERGLEICHSSTERNE
m(1) = 7.01
m(2) = 7.6
m(3) = 8.21
m(4) = 8.45
REM ------------------------
n1 = 4 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN m =a+b*s
REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM n a + [x] b = [y]
REM [x] a + [xx] b = [xy]
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
FOR i = 1 TO n1
x = x + s(i) //[x]
y = y + m(i) //[y]
xx = xx + s(i) * s(i)
xy = xy + s(i) * m(i)
yy = yy + m(i) * m(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 2 //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y //RESIDUUM
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy //RESIDUUM
GOSUB elim
PRINT "KOEFFIZIENT a.........: ";ko(1)
PRINT "KOEFFIZIENT b.........: ";ko(2)
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT
r = (n1 * xy - x * y) / (SQR(n1 * xx - x * x) * SQR(n1 * yy - y * y))
REM MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a = ko(1)
vv = yy - y * ko(1) - xy * ko(2) //SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
s = SQR(vv / (n1 - 2))
mfa = s * SQR(xx / (n1 * xx - x * x))
mfb = s * SQR(n1 / (n1 * xx - x * x))
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT...........: ";r
PRINT "SUMME DER FEHLERQUADRATE..........: ";vv
? n1 * ko(1) + x * ko(2),y
? x * ko(1) + xx * ko(2),xy
? ko(1) + ko(2) * s(2) //STUFEN IN HELLIGKEIT
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE elim //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n ) //RÜCKSUBSTITUTION
j = n
REPEAT
j = j - 1
ko(j) = p(j,n + 1)
FOR i = j + 1 TO n
ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
NEXT i
UNTIL j < 2
RETURN
Ergebnis der Ausgleichsrechnung.
Koeffizient a=7.01 ± 0.057 mag = Helligkeit des hellsten Vergleichssterns a.
Der Koeffizient b gibt die Steigung der Regressionsgeraden an. Qualität und Güte der Beobachtungen
bestimmen die Steigung der Ausgleichsgeraden und Streuung der Meßwerte; denn je flacher die Gerade ansteigt, umso empfindlicher ist das Auge des Beobachters.
[x] a + [xx] b + [xxx] c = [xy]
[xx] a + [xxx] b + [xxxx] c = [xxy]
Unbekannte oder fehlerhafte Vergleichssternhelligkeit
b: 6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.
b: ?
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.
Größere Unterschiede weit über den persönlichen Stufenwert der Beobachter (>0.1 mag) zwischen
Stufenskala und Größenklasse der Vergleichssterne (mag=a+b*s), sind daher neben zufälligen Fehlern hauptsächlich auf den Farbeffekt zurückführen.
Um den Farbfehler zu erfassen, ist die Bedingungsgleichung mag=a+b*s um ein Farbkorrekturglied zu erweitern. Die jeweilige Sternfarbe kann durch das folg. Gleichungssystem berücksichtigt werden: mag=a+b*s+c*f.
[s] a + [ss] b + [sf] c = s*mag
[f] a + [sf] b + [ff] c = f*mag
REM GFA31 FARBGLEICHUNG
DIM p(20,20),ko(10),s(10),m(10),f(10)
REM FARBWERT f (PERSOENL. FARGBLEICHUNG)
f(1) = 2.9 //SPEKTRALTYP A VERGLEICHSSTERNE
f(2) = 2.9 // A
f(3) = 7 // M
f(4) = 2.2 // B
REM STUFENSKALA VERGLEICHSSTERNE
s(1) = 0
s(2) = 6.08
s(3) = 11.22
s(4) = 14.64
REM GROENSSENKLASSSE VERGLEICHSSTERNE
m(1) = 7.01
m(2) = 7.6
m(3) = 8.21
m(4) = 8.45
REM ------------------------
n1 = 4 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
FOR i = 1 TO n1
x = x + s(i) //[x]
y = y + f(i) //[y]
xx = xx + s(i) * s(i)
xy = xy + s(i) * f(i)
yy = yy + f(i) * f(i)
mo = mo + m(i)
sm = sm + s(i) * m(i)
fm = fm + f(i) * m(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 3 //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = mo
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = yy
p(2,4) = sm
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = fm
GOSUB elim
PRINT "KOEFFIZIENT a: ";ko(1)
PRINT "KOEFFIZIENT b: ";ko(2)
PRINT "KOEFFIZIENT c: ";ko(3)
REM ERGEBNIS mag = a+b*f+c*f
PRINT ko(1) + ko(2) * 0 + ko(3) * 2.9 //Helligkeit Vergeleichsstern m(1)
PRINT ko(1) + ko(2) * 6.08 + ko(3) * 2.9
PRINT ko(1) + ko(2) * 11.22 + ko(3) * 7
PRINT ko(1) + ko(2) * 14.64 + ko(3) * 1
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE elim //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n ) //RÜCKSUBSTITUTION
j = n
REPEAT
j = j - 1
ko(j) = p(j,n + 1)
FOR i = j + 1 TO n
ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
NEXT i
UNTIL j < 2
RETURN
In der Regel ermittelt man die persönliche Farbgleichung nach der sog. Osthoff-Skala 0-10. 0=Weiß.
Zwischen dem Farbwert nach Osthoff und dem Spektraltyp besteht allg. folg. Wechselbeziehung. Spektralklasse: B = 2.2 G = 5.2 Skala Spektralklasse k: O=0, B=10,A=20,F=30,G=40,K=50 und M=60. Der Spektraltyp K3 besitzt demnach k=53, Spektraltyp M7 k=67, B0 k=10, G8 k=48 usw.
Mit Feldstecher oder kleinem Fernrohr wird die subjektive Farbwahrnehmung heller Sterne nach der Osthoffskala 0-10 eingestuft, wonach ein reingelb empfundener Stern den Wert 4 erhält. Beispiel:
Für die Aufstellung der persönlichen Farbgleichung sollten natürlich viel mehr Sternbeobachtungen einbezogen werden. Die Wechselbeziehung zwischen Spektraltyp und persönlicher Farbwahrnehmung wird wiederum durch
Ausgleichsrechnung ermittelt. Lineare regression: Bedingungsgleichung: f=a+b*k; f=Wert der persönlichen Farbgleichung nach Osthoff. k=Spektralklasse. Oder Polynom 2. Grades: Bedingungsglecihung f=a+b*k+c*k2
Auf Millimeterpapier horizontal (Absizze) die Spektralklasse (O0-M9=k=0-70) und vertikal (Ordinate) die Osthoff-Skala 0-10 abtragen. Durch die Punkteschar wird die Ausgleichsgerade nach Augenmaß gezogen
oder durch Ausgleichsrechnung berechnet. Mit dem persönlichen Farbdiagramm bzw. der Beziehung f=a+b*k, ist neben dem Spektraltyp (O,B,A,F,G,K,M) der Vergleichssterne auch der persönliche Farbwert
(f) bekannt, der bei Umrechnung der Stufenskala in Größenklassen als Farbkorrektionswert in die Ausgleichsrechnung eingeht (Progr. GFA31). Stufen in Helligkeit (Magnitudines): mag=(a 7.01 ± 0.05)+(b 0.101 ± 0.005)*s.
Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog. a: 7.01 mag. 1. Methode:
Mit dem durch Ausgleichsrechnung bestimmten Koeffizienten b=0.101 mag (persönlicher Stufenwert) erhält man die Helligkeit des Veränderlichen (Progr. GFA30). Beispiel: Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v). Die Beobchtung betrifft Vergleichssternhelligkeit b=7.60 mag und c=8.21 mag. b=7.60 mag + 0.101 mag * b +1 = v 7.70 mag * p Gewicht 10 = 77.0 Mittelwert: (77.0+15.82)/12 = gewichtete Helligkeit des Veränderlichen v 7.74 ± 0.08 mag. Stufen in Helligkeit (Magnitudines): Beispiel. mag=(7.492 ± 0.113) + (0.153 ± 0.023)*s Messung vom 12.1.91: a +1 Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog.
a: 7.50 mag. a 7.50 + 0.153 * a +1 = 7.65 * p 10 = 76.5 Mittwert: v 7.68 ± 0.04 mag = gewichtete Helligkeit des Veränderlichen. Methode 2:
Stufen in Helligkeit (mag=Magnitudines) nach der Gleichung: mag=7.01+0.101*s. Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen.
b 6.08 + 1 Stufen = 7.08 Stufen * p 10 = 70.8 Mittelwert: Stufenwert des Veränderlichen s 7.27 ± mf 0.43 Stufen.
Helligkeit Veränderlicher (s.o.): v 7.74 = a 7.01 + b 0.101*7.27. Koeffizient mfa ± 0.051098 mag mittl. Fehler. Mittl. Fehler mag ± m. m= m 0.08 mag =
Helligkeit Veränderlicher am 1. Juni: v 7.74 ± 0.08 mag. Messung vom 12.1.91: a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10 Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 ± 0.21 Stufen. Helligkeit Veränderlicher: v 7.69 = 7.49+0.153*1.32. mag=(7.492 ± 0.113) + (0.153 ± 0.023)*s.
Helligkeit Veränderlicher am 12.1.91: v 7.69 ± 0.12 mag. Das Licht legt pro Sek. 299792.458 km zurück. Für die Strecke der mittleren Entfernung Erde-Sonne (1
AE 149597870 km) braucht es 499.005 Sek. = 8.317 Min. = 0.0057755 Tage. Die Entfernung Erde-Veränderlicher ändert sich infolge des Erdumlaufs um die Sonne periodisch. Die
Hauptphasenzeitpunkte (Maxima und Minima) des Lichtwechsels können dadurch maximal um 8.3 Minuten früher oder später eintreten; denn liegt die Sonne zwischen Veränderlicher und Erde braucht das
Licht gegenüber dem umgekehrten Fall zusätzliche 16.6 Minuten, um die Erde zu erreichen. Reduktion der Beobachtungszeit (UT) auf das Sonnenzentrum in ekliptikalen Koordinaten des Veränderlichen. h=UT-8.317*R*cos(
R=Entfernung Erde-Sonne in astronomischen Einheiten (1 AE = 149597870 km); L=ekliptikale Länge der Sonne; Eintrag: a=Jahr, m=Monat, d=Tag. jd=1720996.5+d+FIX(30.6001*((m-12*(m<3))+1))+FIX(365.2425*(a+(m<3))) //JD=Julianisches Datum
Die meisten Sternkataloge enthalten nur die äquatorialen heliozentrischen Koordinaten Rekatszension ( arcsin REM GFA32 LICHTZEIT h=UT+8.317*(Xs*x+Ys*y+Zs*z).
RECHTWINKLIGE ÄQUATORIALE STERNKOORDINATEN REM RECHTWINKLIGE ÄQUATORIALE SONNENKOORDINATEN Xs=R*COS(ls)
Reduktion der Beobachtungszeit auf das Baryzentrum Bei genauen lichtelektrischen Messungen sehr kurzer Perioden (Pulsare) ist eine zusätzliche Reduktion auf
das Baryzentrum (Schwerpunkt des Sonnensystems) notwendig. Die sehr regelmäßige Periode der Radioimpulse liegt bei 0.05 bis 3.7 Sek. Wellenlängenbereich 1 cm bis 1 m, wobei das Max. der Intensität etwa bei 30 cm liegt.
hb=h-499.005*Rb*(sin(
Da meistens nur die Hauptphasen der Lichtwechsels interessieren, wird die Kurve gezeichnet, um die Zeitpunkte des höchsten und schwächsten Lichtes die Lichtwechselelemente (Periode und Amplitude) zu bestimmen. Bei W UMa-,
Mit den zuvor bestimmten Stufen- oder Helligkeitswerten des Veränderlichen erhält man eine erste Kurve des Lichtwechsels. Die Stufenwerte des Veränderlichen (oder eines Kleinplaneten) auf Millimeterpapier abtragen. Die rechte
vertikale Ordinate (y-Leiter) bezeichnet die Stufenskala, die linke Vertikale der Ordinate die zugehörigen Helligkeiten der Vergleichssterne, die horizontale Abszisse (x-Leiter) die Beobachtungszeit (Julian. Datum JD).
Sollte die numerische Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate versagen (Polynom 2. oder 3. Grades), zeichnet man die bestmögliche Ausgleichskurve freihändig nach Augenmaß. Die
Abweichungen der durch die Punkteschar gezogenen Kurve sollte möglichst klein und die Summe der positiven und negativen Differenzen gleich Null werden (Fig. 11).
Man bildet die Differenz jeden einzelnen Punktes gegen die durchgelegte möglichst glatt anschmiegende Kurve im Sinne Punkt minus Kurve. Man kann davon ausgehen, daß die Kurve richtig gezogen ist und
dem Bahnverlauf gut entspricht, wenn die Summe der Quadrate aller notierten Differenzen (q12+q22+q32...qn2
= [vv]) nahezu Null wird. Sollte der Wert [vv] nicht nahe Null betragen, zeichnet man eine bessere Ausgleichskurve mit kleinerer Fehlerquadratsumme (<[vv]). Standardabweichung (Streuung der Werte):
Je nach dem symmetrischen oder asymmetrischen Verlauf der Lichtkurven mit flachen oder spitzen Hauptphasen, verwendet man verschiedene Methoden die Minima- und Maxima-Zeitpunkte möglichst
genau zu bestimmen. Die geschätzten Helligkeitswerte des Veränderlichen müssen zur Auswertung in Form des Zeit-Helligkeitsdiagramms vorliegen.
Berücksichtigung der persönlichen Farbwahrnehmung
1=gelbliches Weiß.
2=Weiß und Gelb zu gleichen Teilen.
3=helles oder blasses Gelb.
4=Reingelb.
5=Dunkelgelb.
6=rötliches Gelb (Gelb überwiegt).
7=Geld und Rot zu gleichen Teilen.
8=gelbliches Rot (rot überwiegt).
9=Rot mit einer Spur Gelb.
10=Rot.
A = 2.9 K = 6.0
F = 4.1 M = 7.0
Beobachteter Stern Spektraltyp k Farbwert f (Mittwert aus 5 Schätzungen)
Epsilon Orionis B0=10 1+1+2+1+2 = 1.4
Kappa Orionis B0=10 1+2+3+2+1 = 1.8
Gamma Orionis B2=12 2+2+1+2+1 = 1.6
Beta Canis Minoris B8=18 2+2+3+2+1 = 2.0
Alpha Canis Maioris A1=21 3+3+3+2+1 = 2.4
Beta Aurigae A2=22 4+3+2+3+3 = 3.0
Alpha Geminorum A2 usw.
Alpha Leporis F0
Gamma Canis Maioris F6
Oder Polynom 3. Grades: Bedingungsgleichung f=a+b*k+c*k2+d*k3
Umrechnung der Stufenwerte des Veränderlichen in Größenklassen
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.
c=8.21 mag + 0.101 mag * c -3 = v 7.91 mag * p Gewicht 2 = 15.82
b -2
c -3
d -6
b: 7.95 mag.
c: 8.35 mag.
d: 8.61 mag.
b 7.95 + 0.153 * b -2 = 7.64 * p 5 = 38.2
c 8.35 + 0.153 * c -3 = 7.89 * p 2 = 15.78
d 8.61 + 0.153 * d -6 = 7.69 * p 1 = 7.79
c 11.22 - 3 Stufen = 8.22 Stufen * p 2 = 16.44
Koeffizient mfb ± 0.005168 mag mittl. Fehler.
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5 = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2 = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1 = 1.5
m 0.12 mag =
Bei kurzperiodischen Veränderlichen und Bedeckungsveränderlichen, die minutengenau beobachtet
werden, ist die Lichtzeitreduktion unvermeidlich. Die Beobachtungszeit (Weltzeit UT) ist vor Ableitung der Lichtwechselemente für Lichtzeit zu korrigieren, wodurch sich die auf die Sonne bezogene
(heliozentrische) Zeit des Veränderlichen ergibt.
t=(jd-2451545)/36525 //t=Julian. Datum JD in Julian. Jahrh. ab Epoche J2000=1.1.2000, 12h
ec=0.4090928042223-0.000227*t //mittl. Ekliptikschiefe
lms=4.895063+628.33197*t //mittl. ekl. Länge der Sonne
ms=6.24006+628.301955*t //mittl. Anomalie
//Mittelpunktsgleichung c
c=0.03342*SIN(ms)+0.00035*SIN(2*ms)
ls=lms+c //genäherte ekl. Länge der Sonne (auf 0.01 Grad)
v=ls-lms+ms.
R=0.9997/(1+0.0167*cos(v)) //Entfernung Sonne-Erde in Astronomischen Einheiten 1 R=149 597 870.66 km
x=(cos(d) cos(a))/cos(b)
y=(sin(ec) sin(d)+cos(ec)*cos(d) sin(a))/cos(b)
k
=ARCTAN(y/(1+x))*2
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
ut = 12 //EINTRAG STD.
mi = 12 //EINTRAG MINUTE
d = 1 //EINTRAG TAG
m = 1 //EINTRAG MONAT
a = 2000 //EINTRAG JAHR
REM -----------------
ut = ut + (mi / 60) / 24
jd = 1720996.5 + d + FIX(30.6001 * ((m - 12 * (m < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a + (m < 3)))
jd = jd + ut
jd1 = jd - 2451545
tj = jd1 / 365.25
t = jd1 / 36525
ec = FN r(0.4090928 - 0.000227 * t) //mittl. Ekliptikschiefe
ms = FN r(4.895063 + 628.33197 * t) //mittl. ekl. Länge der Sonne
ms = FN r(6.24006 + 628.30196 * t) //mittl. Anomalie
c = 0.03342* SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms) //Mittelpunktsgleichung
s = FN r(lms + c) //genäherte ekl. Länge der Sonne (0.01 Grad)
v = FN r(ms + c)
r = 0.9997 / (1 + 0.01671 * COS(v))
REM TRANSFORMATION ÄQUATORIAL J2000 ZUM MITTL. ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
d = RAD((20 + 30 / 60 + 45 / 3600)) //EINTRAG DEKLINATION (o,','') STERN ÄQUINOKTIUM J2000
ar = RAD((13 + 45 / 60 + 23.3 / 3600) * 15) //EINTRAG REKTASZENSION (h,m,s) STERN ÄQUINOKTIUM J2000
dd = (0.0000989019 * COS(ar)) * tj
dr = (0.00022362 + 0.0000989019 * SIN(ar) * TAN(d)) * tj
d = d + dd
ar = FN r(ar + dr)
REM TRANSFORMATION ÄQUATORIAL - EKLIPTIKAL ---------
bet = ASIN(COS(ec) * SIN(d) - SIN(ec) * COS(d) * SIN(ar))
x = (COS(d) * COS(ar)) / COS(bet)
y = (SIN(ec) * SIN(d) + COS(ec) * COS(d) * SIN(ar)) / COS(bet)
l = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
REM LICHTZEIT IN STD. ------------
lz = -8.317 * r * COS(bet) * COS(ls - l)
h = ut + lz / 60 //HELIOZENTRISCHE ZEIT IN STD.
ut = h - lz / 60 //GEOZENTRISCHE ZEIT IN STD.
PRINT "LICHTZEIT IN MINUTEN : ";lz;" Min."
PRINT "HELIOZENTRISCHE ZEIT IN STD.: ";h;" h"
KEYGET HALT%
Reduktion der Beobachtungszeit auf das Sonnenzentrum in rechtwinkligen äquatorialen Koordinaten des Veränderlichen.
h=UT+(-8.317*COS(
x=cos(
y=cos(d) sin(a)
z=sin(d)
Ys=R*SIN(ls)*COS(ec)
Zs=R*SIN(ls)*SIN(ec)
h=heliozentr. Zeit (in Zeitsek.); Rb=Entfernung Baryzentrum-Sonnenzentrum in AE; hb=auf das Baryzentrum bezogene Zeit.
d1, a1
= Äquatorialkoordinaten des Baryzentrums; d,
a = Äquatorialkoordinaten des Veränderlichen.
Zeit-Stufendiagramm bzw. Zeit-Helligkeitsdiagramm
Bestimmung der Hauptphasen (Maximum und Minimum) des Lichtwechsels
Tracing-Paper-Method (Pauspapiermethode
) oder auch Symmetrieachsen-Umklappmethode, die K. Kordylewski (Krakau) erstmals 1924 bei Bedeckungssternen mit breiten oder spitzen Minima praktizierte,
deren Helligkeitsab- u. -anstieg symmetrisch verlaufen. Diese Methode ist bei asymmetrischen an- u. absteigenden Verlauf der Schätzpunkte nicht anwendbar.
In das Zeit-Helligkeitsdiagramm (Fig. 23) wird ein kleines Achsenkreuz parallel zur vertikalen und horizontalen Achse des Diagramms eingezeichnet. Kreuz und Schätzpunkte werden auf ein darüber
gelegtes Paus- bzw. Transparentpapier durchgezeichnet.
 |
Die Kreuzbalken des Diagramms und die des seitenverkehrt aufgelegten Durchschlags- bzw.
Transparentpapiers ist zur exakten Deckung zu bringen und parallel zur horizontalen Achse soweit zu verschieben, bis sich die geringste Streuung zwischen den ursprünglichen und gepausten Punkten einstellt.
Die Mittellinie zwischen beiden senkrechten Kreuzbalken legt den genauen Zeitpunkt der Minimumshelligkeit fest. Fig. 23. Mit Hilfe der Kordylewski-Tracing-Paper-Method wird bei symmetrischen Lichtkurven durch
Verdopplung der Schätzpunkte eine größere Genauigkeit der Hauptphasenzeitbestimmung erreicht. Die Verdopplung der Schätzpunkte ermöglicht auch eine sichere Einzeichnung der Lichtkurve nach Augenmaß durch mehr Anhaltspunkte.
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