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Dämmerung
Taste D: Anfang u. Ende der bürgerlichen Dämmerung mit Datum u. Uhrzeit (Sonnenhöhe -6°), nautischen Dämmerung
(Sonnenhöhe -12°) u. astronomischen Dämm. (Sonnenhöhe -18°).
Mittlere Ortszeit der Dämmerungszeit (MOZ): MOZ = UT + geograph. Länge in Grad (östl. Länge +, westl. Länge - ) / 15. Landeszeit der Dämmerungszeit = UT + Zonenzeitdifferenz
gegen Weltzeit (östl. Länge +, westl. Länge -). Geographischer Nord- oder Südpol: Dämmerungsdauer, -anfang u. -ende ebenfalls nach dem Deklinationsbetrag (= Höhe) der Sonne. Dortige bürgerliche Dämm. demnach zwischen -6° u. -0.8333°
Deklination). Beträgt vor Frühlingsanfang die Höhe bzw. Deklin. der Sonne -0°50', taucht am exakten Nordpol ihr Oberrand am Horizont auf.
Im ersten Drittel der Dämmerungszone des Erdglobus (Sonnenhöhe -1° bis -6°) herrscht die Zeit der
sog. bürgerlichen Dämmerung. Es ist noch so hell, daß im Freien eine Zeitung bequem ohne künstl. Lichtquelle gelesen werden kann. Fig. 30.
Liegt ein Ort bereits im zweiten Drittel der Dämmerungszone (Sonnenhöhe -7° bis -12°), herrscht
die sog. nautische Dämmerung. Bei -12° Sonnenhöhe reicht das Dämmerungslicht eben noch aus um nautische Peilungen auszuführen, da der Meereshorizont (Kimm) gerade noch auszumachen ist. In den Großstädten werden die künstl.
Beleuchtungskörper eingeschaltet. Im letzten Drittel der Dämmerungszone (Sonnenhöhe -13° bis -18°) herrscht astronomische Dämmerung. Erst bei kleinerem Sonnenstand als -18° ist der Himmel vollkommen nachtdunkel. In höheren Breitengraden
(Polarkreis) erreicht die Sonne während des Hochsommers um Mitternacht nur Höhen um -1° bis -18°. Man spricht dann von der Mitternachtsdämmerung oder der Zeit der sog. hellen bzw. 'weißen' Nächte.
Erdschattenbeobachtungen: S. Günther,
Erdschatten und Ozonschicht. Die Sterne, Heft 1-2/1951, S. 24-25; J. Dubois, Comt. Rend. 226, 1180 (1948).
Nomenklatur
Datum........................: 1.1.2000
Uhrzeit.......................: 0 TT (terrestrial time, Ephemeridenzeit)
Geographische Breite: 50o
Dynamische Länge: 10o
NN............................: 0
Ort.............................: -
Taste T - Tabelle.
Zeile 1 - 2: Geozentrische, scheinbare ekliptikale Länge der Sonne, wahres Äquinoktium des Datums. Ekl. Länge zum Frühlingsanfang 0°, Sommeranfang 90°, Herbstanfang 180° u. Winteranfang 270°, wobei die Erdbahn (Ekliptik) die Ebene
der Messung bildet. Wegen der Differenz zwischen geometr. (geozentr.) Erdmittelpunkt u. Masseschwerpunkt, besitzt die Sonne eine geringe ekl. Breite die geozentr. nie größer;
als 1'' wird. (Ekl. Lönge der Erde ±180°). Wegen des Unterschieds der Mondfiguren- u. Massenmitte, ist die ekl. Länge des Mondes +0.5´´ in ekl. Länge u. -0.25´´ in ekl. Br. korrigiert (nur in der Finsternisberechnung enthalten).
Zeile 3 - 4: Die scheinbare Rektaszension wird ebenfalls ab dem stellaren Nullmeridian (Frühlingspunkt) gemessen. Frühlingsanfang 0 Uhr Rektaszension. Sommeranfang 6 Uhr, Herbstanfang 12 Uhr, Winteranfang 18 Uhr. Dabei erfolgt die
Zählung parallel zur Ebene des Himmelsäquators. Deklination: Abweichung der Sonne vom Äquator.
Zeile 5 - 6: Auf den wahren (geozentrischen) Horizont bezogene Höhe u. Himmelsrichtung (ohne Refraktionskorrektur).
Azimut: Süden = 0° Westen 90°, Norden 180°, Osten 270°, Süden (0°) 360°. Höhe: 0°, +90° Zenit, -90° Nadir.
Zeile 7: Äquator-Horizontal-Parallaxe. Halbmesser der Erde von der Sonne aus gesehen. Differenz wahrer
(geozentrischer)/scheinbarer (topozentrischer) Horizont.
Zeile 8: Entfernung Erde-Sonne in astronomischen Einheiten (geometrische [wahre] Entfernung der Sonne).
Zeile 9 - 10: Geographische Breite u. Länge des Ortes mit Sonne im Zenit (Sub-Solar Ort). Geograph. Breite u. Länge der Erdmitte von der Sonne aus gesehen bzw. Projektionsort der Sonne auf die Erdmitte. (Dynamische Länge nach Eingabe
dynamischer Zeit)
Zeile 11: Stundenwinkel (scheinbare Ortssternzeit) des stellaren Nullmeridians (Frühlingspunktes) mit dem Himmelsmeridian
(= eingegebener geograph. bzw. dynam. Längengrad). Die Sonne steht im Ortsmeridian, wenn ihre Rektaszension gleich der Ortssternzeit ist (Rektaszension im Nord-Süd-Kreis = Ortssternzeit).
Zeile 12 - 13: Länge des Zentralmeridians. Der Zentralmeridian verläuft durch die Mitte der Sonne. Heliographische Breite der Erde über dem Sonnenäquator. (Sonnenmittelpunkt von der Erde aus gesehen - Sub-Erde Ort. Projektionsort der Erde
auf die Sonnenmitte von der Erde aus gesehen).
Zeile 14: Positionswinkel der solaren Rotationsachse.
Zeile 15: Parallaktischer Winkel. Positionswinkel der Zenitrichtung am Sonnenmittelpunkt. (Positions- winkelzählung stets ab
Nord entgegen dem Uhrzeigersinn 0 bis 360 Grad).
Zeile 16: Scheinbarer geozentr. Winkelhalbmesser der Sonne.
Zeile 17 - 23 wie 1 - 16, aber auf den scheinbaren (topozentr.) Horizont des geograph. Ortes + Seehöhe bezogen
(mathematischer, astronomischer oder scheinbarer Horizont genannt).
Infolge der Refraktion tritt in Horizontnähe eine Erhöhung der Gestirne um 34' ein. Geometrisch geht der Sonnen- oder
Mondmittelpunkt in 0° Höhe auf bzw. unter, wird aber dann in +0°34' Höhe beobachtet. Die Kimm liegt z. B. bei 100m Augeshöhe über NN 1.925' * í100 m = 19' (Bogenminuten) unter dem scheinbaren Horizont für Augeshöhe 0 m
(Kimmtiefe). Mittl. Refraktion in entsprechender Kimmtiefe bzw. Augeshöhe: 0.31'*íNN. Bei 100 m über NN = 3.1'. Auf- bzw. Untergang am sichtbaren Horizont (Sonnenoberrand an der Kimm) somit: -0°34' - 3.1' mittl. Refraktion - 16' mittl.
Halbmesser - 19';
mittl. Kimmtiefe = -1°12' (topozentr. Höhenanzeige).
Beim Auf- u. Untergang der Sonne oder des Mondes wird die differentielle Refraktion durch die elliptische Form der Sonne
oder des Mondes am Horizont augenscheinlich. Der untere Sonnen- oder Mondrand, in dichtere Luftschichten ragend, erfährt eine stärkere Anhebung, die den vertikalen Sonnen- oder Monddurchmesser verkürzt, wodurch die Sonne oder der
Mond elliptisch deformiert erscheint.
Höhe über NN = 100 m = -19.25' Kimmtiefe. Beobachtete Höhe des scheinbaren Sonnenunterrandes an der Kimm = 0°0'
bzw. -19.25' unter dem scheinbaren Horizont für Augeshöhe NN=0 Meter (Zenitdistanz 90.32083°). Höhe des topozentr. geometr. Sonnenoberrandes über der Kimm dann +32' bzw. +12.75' über dem scheinbaren Horizont (Sonnendurchmesser =
32', Torr = 760 mm, T = 30 °C, -19.25'/60 = h -0.320833°).
Höhe der Beobachtungsstation über NN = 100 m. Kimmtiefe = -19.25' = Sonnunterrand an der Kimm in scheinbarer Höhe
(hsu) -0.32083°, Luftdruck p=1013.33 mb, Temperatur (t) +30 °C. RAD = 0.01745329251994 = (PI/180).
t=30
hsu=-0.320833 //hsu = scheinbare Höhe des Sonnenunterrandes
hs=hsu
rw=(1/TAN(RAD*(hs+7.31/(hs+4.4))))
rw=rw-0.06*SIN(14.7*rw+13)
rw=rw*((p-80)/930)/(1+0.00008*(rw+39)*(t-10)) //Refraktion für wahre Höhe
hwu=hs-rw/60 //hwu = wahre Höhe des Sonnenunterrandes
hwo=hwu+32/60 //Sonnendurchmesser ~32' = hwo = wahre Höhe des Sonnenoberrandes
hw=hwo
rs=(1.02/TAN(RAD*(hw+10.3/(hw+5.11))))
rs=rs*((p-80)/930)/(1+0.00008*(rs+39)*(t-10)) Refraktion für scheinbare Höhe
hso=hw+rs/60 //hso = scheinbare Höhe des Sonnenoberrandes
hso = 0.1199988°
hso-hsu = 0.4408318° = scheinbarer (beobachteter) Sonnendurchmesser in Grad
(hso-hsu)*60 = 26.45' scheinb. Sonnendurchm. in Bogenminuten.
((hso-hsu)*60)/32 = 0.82656 scheinb. Sonnendurchm. in Einheiten des wahren Sonnendurchm.
Die differentielle Refraktion in Horizontnähe verkürzt somit den Polardurchmesser der Sonne um 32-26.45' = 5.55' (Bogenminuten).
R = Refraktionsbetrag; zs = topozentr. scheinbare (beobachtbare bzw. gemessene) Zenitdistanz = 90° - hs; hs = topozentr. scheinbare (beobachtete bzw. gemessene) Höhe = 90° - zs (zs, hs mit Refraktion behaftet).
Topozentr. (berechnete) Zenitdistanz zt bzw. Höhe ht (ohne Refraktion): zt = zs + Rt; ht = hs - Rt; topozentr. scheinbare (=beobachtbare) Zenitdistanz zs bzw. Höhe hs: zs = zt - Rs; hs = ht + Rs; zt = zs + Rt; ht = hs - Rt.;
X=(Torr/760)*(1/(1+T/273)); T = Lufttemperatur (°C), Luftdruck in Torr (Millimeter Quecksilbersäule: 1000 Millibar bzw. hPa = 1000*3/4 = 750 mm Torr).
Falls Luftdruck in Meerspiegelhöhe (z. B. 750 Torr), Luftdruck in z.B. 600 Meter Höhe über N.N. (Meerespiegel): 698 Torr
= 750 Torr * (1-(0.0065 * 600 NN)/288)^5.255 (Luftdruck in 600 m Höhe); falls Temperatur in Fahrenheit (F): Celsius °C = -17.778 F + 0.5556*F; F = 32+1.8*t °C.
Für Höhen über 15Grad (h>15°) gilt (zs,zt) in Grad: Rt=(0.01684131472*TAN(zs*RAD)- 0.0000192987241*TAN(zs*RAD)^3)*X (Grad)
Rs=(0.01683612*TAN(zt*RAD)-0.00002380562*TAN(zt*RAD)^3)*X (Grad)
Für Höhen zischen 0° und 90° gilt (hs und ht in Grad): (p = Luftdruck in Millibar (p = 1013.333 mb = 760*4/3 Torr); T in Grad Celsius °C.
Rt=(1/TAN(FN rad(hs+7.31/(hs+4.4))))
Rt=Rt-0.06*SIN(14.7*Rt+13)
Rt=Rt*((p-80)/930)/(1+0.00008*(Rt+39)*(T-10)) (Rt in Bogenminuten; T zwischen -20 bis +40 °C, Luftdruck zwischen 970 bis 1050 mb).
Rs=(1.02/TAN(FN rad(ht+10.3/(ht+5.11))))
Rs=Rs*((p-80)/930)/(1+0.00008*(Rs+39)*(T-10)) (Rs in Bogenminuten).
Beobachteter Untergang des Sonnenoberrandes an der Kimm am 30.11.1988 (Mauna Kea Observatorium Hawaii: 19.823°
n. Br., -155.472° w. L., NN = 4205 m) um 3h49m40s UT. Topozentr. Höhenanzeige: h -2.6213889° (Zenitdistanz 90° - h = z 92.6213889°) + Sonnenhalbmesser 0.27031111° = Höhe des Sonnenoberrandes -2.35108° + geometr. Kimmtiefe (NN
4205 m) 2.0805° = Horizontrefraktion -0.2706° ( = -16.236').
Bei atmosphärischen Anomalien fluktuiert die Refraktion in Horizontnöhe beträchtl. gegenüber dem mittl. Referenzwert.
Topozentr. Höhe ht +2°50.9´+ Rs 15.23' = hs +3°6.13' beobachtbare Höhe über dem scheinbaren Horizont. Höhe über dem sichtbaren Horizont (Kimm) nach Addition der Kimmtiefe (Augeshöhe über NN) +1.925' * íHöhe über NN.
Zeile 24 - 25: Rechtwinklige (geozentr.) Sonnenkoordinaten X,Y,Z für mittl. Äquator u. Äquinoktium zum Julianischen u. Besselschen Jahresanfang J2000 u. B1950.0.
Mond
Zeile 26 - 27: Auf die Erdbahnebene (Ekliptik) bezogene, scheinbare ekl. Länge u. Breite, wahres Äquinoktium des Datums.
Zeile 28 - 29: Geozentrische scheinbare Rektaszension u. Deklination. Zählweise der ekl. Länge u. Rektaszension ab
Frühlingspunkt (nach Osten) entgegen dem Uhrzeigersinn.
Zeile 30 - 31: Höhe u. Himmelsrichtung am wahren Horizont (ohne Refraktionskorrektur).
Zeile 32: Parallaxe. Winkelhalbmesser der Erde vom Mond gesehen. Differenz wahrer/scheinbarer Horizont. (Geozentrische Entfernung des Mondes in Kilometer: 6378.14 km/Sinus Parallaxe°)
Zeile 33 - 34: Geograph. Breite u. Länge (dynam. Länge nach Eingabe dynamischer Zeit) des Ortes mit dem Mond am Zenit (Sub-Lunar Ort). Vom Mond gesehen, steht dieser Ort in der Erdmitte (Projektion des Mondes auf die Erdmitte vom Mond
gesehen. Geograph. Breite des Sub-Lunar Ortes = Deklination + Korrektur für Erdabplattung).
Zeile 35: Geozentr. Winkelhalbmesser des Mondes.
Zeile 36 - 37: Geozentrische Libration. Länge u. Breite der Mondmitte von der Erde aus gesehen (Sub-Erde Ort) - Erde am
Zenit dieses Ortes (= Projektion der Erde auf die Mondmitte, gesehen von Erde). Der Zentralmeridian (Libration in Länge) verläuft genau durch die scheinbare Mondmitte.
Zeile 38: Selenographische Länge der Lichtgrenze (Terminator).
Zeile 39: Breite der Sonne über dem Mondäquator.
Zeile 40: Positionswinkel der Achse.
Zeile 41: Positionswinkel der unbeleuchteten Mondphase.
Zeile 42: Parallaktischer Winkel. Positionswinkel der Zenitrichtung am Mondmittelpunkt. (Positionswinkel stets ab irdisch Nord entgegen dem Uhrzeigersinn).
Zeile 43 - 53 gleich Zeile 26 - 42, hier jedoch auf den scheinbaren Horizont des topozentr. geograph. Ortes + Seehöhe bezogen. Da die Parallaxe des Mondes aufgrund der geringen Entfernung rund 1 Grad beträgt, weichen geozentrischer
(wahrer Horizont) u. topozentr. Mondposition (scheinbarer Horizont) entsprechend ab.
Zeile 46: Länge des Mondkernschattens.
Zeile 47: Topozentr. Entfernung Beobachtungsstandort-Mondmitte.
Geographische Länge und Breite aus einer topographischen Karte
Die Eingabe der geographischen Länge u. Breite auf 0.1° oder 1° genau (Weltatlas/Weltkarte) genügt vielfachen
Anforderungen (z. B. beim Spazierensehen zur Entspannung). Für genaue Beobachtungen (Fernrohr, Messungen mit Theodoliten, Passageinstrument usw.) kann der Standort auf ±3 Meter entwder durch ein GPS Gerät oder einer topographischen Karte bestimmt werden.
Wegen ihres gekrümmten Verlaufs eignen sich die Koordinatenlinien topographischer Karten (Mastab 1:25000/ 1:50000) nicht zur" genauen Bestimmung der geographischen Länge u. Breite. Sie werden aus den ebenfalls angegebenen konformen
Koordinaten genauer bestimmt.
Kleinmastäbliche Karten sind zwecks besserer Lesbarkeit generalisiert, z. B. Straßen verbreitert, Gebäude u. a.
dementsprechend verschoben. Höhe ber NN nach den Höhenlinien u. -punkte einer topograph. Karte. Für die Koordinatenfestlegung dient am besten die beim Katasteramt erhältliche Deutsche Grundkarte 1:5000 (DGK 5).
Der mittl. Lagefehler für Punkte die nach der Karte wieder auffindbar sind, beträgt ±
3 m. Auf 50 Grad Breite entspricht 1'' in geograph. Breite 30.9 m u. 1'' in geograph. Länge 19.3 m. Ein Punkt auf der DGK 5 ist demnach auf 3 Meter, 0.6 Kartenmillimeter 0.2'' in Länge u. 0.1'' in Breite genau.
Der Abstand P - C [Fig. 31] ist der Hochwert h von B. Er gibt den Abstand des Ortes B in Meter vom quator C an. Der mit r gekennzeichnete Rechtswert ist der Abstand B vom Bezugsmeridian P-C.
Zu den ungefähren, zuvor auf einer topograph. Karte kleineren Mastabs (1:50000) bestimmten, rechtwinkl. Koordinaten r 2 554 500, h 5 712 700, gehört das DGK 5 Blatt 2554/5712 (r 2554 km = 2554000 m/ h 5712 km = 5712000 m). Die DGK 5
gibt ein 2 zu 2 km Geländestck wieder.
Ort B [Fig. 32] 30.56 cm vom Westrand u. 15.44 cm vom Südrand. Bei nicht genau maßhaltigen Karten, durch Dehnung
oder Schrumpfung des Materials, kann die Verzerrung in Länge z. B. 40.05 cm, in Breite z. B. 39.98 cm betragen.
40 cm/40.05 cm = 0.99875156 * 30.56 cm * 50 m = 1526.09 m.
40 cm/30.98 cm = 1.00050025 * 15.44 cm * 50 m = 772.39 m.
r 2 554 000 m + 1 526.09 m = r 2 555 526.09 m
h 5 712 000 m + 772.39 m = h 5 712 772.39 m
Eingabe (konforme [winkeltreue] Koordinaten nach Wahl.
Auf den mittleren Erdpol (CIO) bezogenen gepgraphische Koordinaten:
Rechtswert (r)? 2555526.09 m = geogr. Breite (b) 51°32'52.88'' (DHDN)."
Hochwert (h)? 5712772.39 m = geogr. Länge (l) 6°48'2.04'' (DHDN). DHDN= DeutschesHaupDreiecksNetz.
Führt man Präzisionsmessungen mit Sekundentheodoliten o.ä. durch, um Sterndurchgänge, Zenitdistanzen usw. zu messen, ist folg. zu beachten:
Dem deutschen Kartenwesen (DGK 5) liegt der Bessel’sche Erdellipsoid zugrunde:
Äquatordurchm. a = 6 377 397.155 m.
Polardurchm. b = 6 356 078.96325 m
Abplattung f = 1/299.152813.
World Geodetic Survey 1984: a1 = 6 378 137 m
b1 = 6 356 752.313 m
f1 = 1/298.257223563.
Der WGS 84 Ellipsoid stimmt praktisch mit dem der IAU 1976 (a=6378140 m, f = 1/298.257) überein.
In Nordamerika ist der Ellipsoid Clarke 1866 (a=6378206.4, f=294.978698) und GRS80 (a=6378137 m, f=298.257222) in Gebrauch.
Die Japanische und Schweizer Geodäsie verwendet den Bessel-Ellipsoid, die osteuropäische den Krassowsky-Ellipsoid System 42 (a=6378245 m, f 1/298.3), die franz. den Clarke-Ellipsoid von 1880.
Ellipsoidwechsel Bessel 1841 zu WGS 84: Datumshift-Werte im Meterbereich zwischen System Netz 77 (DHDN = DeutschesHauptDreiecksNetz) u. WGS 84 (DHDN in WGS 84): dX = +631 m, ±Y = +23 m, ±Z +450 m (Centre Offset).
Vgl.
Kartendatum, Datum-Shift: Datumshiftparameter http://www.lverma.nrw.de/produkte/raumbezug/ koordinatentransformation/ Koordinatentransformation.htm#
Änderung der Elliposidwerte a1-a = da 739.85 m, f1-f = d
f 0.0000100374848. l = geograph. Länge, b = geograph. Br. (l u. b in Rad: 1° = 0.01745329251994 rad). db = shifts in geograph. Breite, dl = shifts in geograph. Länge. e2
= 2*f-f2.
REM GFA-BASIC
REM Vincenty Transformation (JGR vol. 71, no.10., p 2619)
dX = 631
dY = 23
dZ = 451
h = 0 //ellipsoidische Höhe
a1 = 6378137 //Äquatorradius (Meter) WGS84
a2 = 6377397.155 //Äquatorradius Bessel
da = a1 - a2 //Ellipsoidparameter
am = (a1 + a2) / 2 //Mittelwert
f1 = 1 / 298.257223563 //Abplattung WGS84
f2 = 1 / 299.152813 //Abplattung Bessel
ee1 = 2 * f1 - f1 ^ 2 // 1. numerische Exentrizität WGS84
ee2 = 2 * f2 - f2 ^ 2 //1. numerische Exzentrizität Bessel
de = ee1 - ee2 //Ellipsoidparameter
ep1 = ee1 / (1 - ee1) //Quadrat 2. Exentrizität WGS84
ep2 = ee2 / (1 - ee2)
epm = (ep1 + ep2) / 2
b = RAD(51 + 32 / 60 + 52.88 / 3600) //geograph. Breite
l = RAD(6 + 48 / 60 + 2.04 / 3600) //geograph. Länge
V = 1 + epm - (3 / 2) * epm * SIN(b) ^ 2
W = 1 - 0.5 * epm * SIN(b) ^ 2
C1 = -0.5 * epm * de
C2 = (epm / am) * da + (1 + epm) * de
C3 = 0.5 * epm * da + 0.5 * am * de
C4 = 0.5 * epm * (epm * da + 0.5 * am * de)
db = -((dX * COS(l) + dY * SIN(l)) * SIN(b) - dZ * COS(b)) * (V / am) + (C1 * SIN(b) ^ 2 + C2) * SIN(b) * COS(b)
dl = -(dX * SIN(l) - dY * COS(l)) * (W / am) * 1 / COS(b)
dh = (dX * COS(l) + dY * SIN(l)) * COS(b) + dZ * SIN(b) + C3 * SIN(b) ^ 2 + C4 * SIN(b) ^ 4 - da
? db * 206264.80625
? dl * 206264.80625
? dh
? da
? de
Geogr. Br.: (WGS 84) jm 51°32'48.11'' = (DHDN) 51°32'52.88'' db -4.77”
Geogr. L.: (WGS 84) lm 6°47'59.35'' = (DHDN) 6°48'02.04'' dl -2.69”.
Die DHDN- bzw. WGS 84-Koordinaten wm, k
m) beziehen sich auf den mittleren Pol (CIO = Conventional International Origin = CTP Conventional Terrestrial Pole). Die Rotationsachse der Erde beschreibt einen Kreiskegel um die
Hauptträgheitsachse. Diese Bewegung besitzt eine (Chandler'sche) Periode von 430 Tagen mit einer Polhodie bis zu 15 m bzw. 0.5'' (Polhöhenschwankung).
Korrektur vom mittl. (CIO) auf den aktuellen Pol (CEP):
Azimut = mittl. Azimut azm - (x sin km - y cos km)/cos wm) (Azimute terrestr. Ziele mit Theodoliten o.ä.).
Geogr Br. w =w m + (x cos km - y sin km)
Geogr L. k
= m + (x sin km + y cos km)*tan wm.
x, y = Polkoordinaten bezogen auf den CIO (in astronom. Jahrbüchern, zirkularen des Bureau International de l'Heure [IERS
Bulletin B], Paris, International Earth Rotation Service [IERS Bulletin A], U.S. Naval Observatory, oder dem BIH Annual Report for the Year).
IERS-Bulletin B: x = +0.134'', y = +0.407'' am 1.4.1988 0h UT.
Geogr. Breite
j +51°32'48.20'', geogr. Länge l +6°47'59.90'' am 1.4.1988 0h UT, bezogen auf den aktuellen Nordpol (CEP = Celestial Ephemeris Pole). Die Korrektur ist nur dann sinnvoll, wenn die Gauß-Krüger-Koordinaten (r,h) des
Meßinstrumentes (Theodoliten) oder der Karte auf 1-0.1 Meter genau bekannt sind (evtl. Anschluß oder Aufstellung des Instrumentes über einen trigonometr. Punkt (TP) dessen genaue Koordinaten dem Landesvermessungsamt vorliegen).
ANHANG
Kalender: Die christliche Chronologie rechnet die Kalenderjahre ab Christi Geburt. Der mit der Festlegung des Kalenders
beauftragte" Mönch Dionysius Exiguus (500 - 556), lie die Zahl >0< zwischen 1 v. Chr. u. 1 n. Chr. auer acht Die astronomisch-mathematische Zählweise ist daher von der historischen zu unterscheiden."
1900 n. Chr. (hist.) = 1900 (astronom.)
1 n. Chr. (hist.) = 1 (astronom.)
1 v. Chr. (hist.) = 0 (astronom.)
2 v. Chr. (hist.) = -1 (astronom.)
4000 v. Chr. (hist.) =-3999 (astronom.)
Historische Jahresangaben v. Chr. um 1 vermindern und negativ eingeben. Datumeingaben ab 5.10.1582 beziehen sich auf den Gregor., davor auf den Julianischen Kalender.
Eine Reihe europäischer Länder verwendete bis ins 19. Jhd. den Julianischen Kalender. Zur Verwandl. in den neuen Stil gelten folg. Differenzen:
29.2.1500 - 28.2.1700 = +10 Tage.
29.2.1700 - 28.2.1800 = +11 “
29.2.1800 - 28.2.1900 = +12 “
29.2.1900 - 28.2.2000 = +13 “
Eine auf 0.1 Grad genaue Eingabe reicht allg. aus. Für präzisere Eingaben mit Bogenminuten- u. Sekundengenauigkeit dienen folg. Beispiele:"
Geogr. Koordinaten des Kölner Doms (Dachreiter): +50°56'33.2607' nördl. Breite u. +6°57'32.3136'' östl. Länge (Bessel'scher Referenzellipsoid 1841). Parameter stets in sexagesimaler Form eingeben: Grad, Bogenminuten u.
Bogensekunden (°,',''). 1° = 60' = 3600''. 1' = 60''. 1' = 0.016666666666ø. 1' = 0. 0002777777777°.
Südlische geograph. Breite: Kapstadt: -33°58'06.5''. Eingabe der südl. Breite und westl. Länge stets mit negativem Vorzeichen.
Alle Sexagesimalangaben sGrad, Bogenminuten u. -sekunden (°,','') sind nicht mit den seagesimalen Zeitangeben Std., Min. u. Sek. (h,m,s) zu verwechseln.
Geograph. Länge ab Greenwich-Nullmeridian: 180 Grad positiv in östl. Richtung (z. B. 139°45' östl. Länge Tokio) u. 180 Grad negativ nach Westen (z. B. -73°58' westl. Länge New York). Die westl. Länge erhält ein negatives Vorzeichen.
Um Zeitverwechslungen mit der Somerzeit und Zonenzeit in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft zu vermeiden, stets Weltzeit (UT = universal time) oder dynamische Zeit (TT = terrestrial time) eingeben.
Bei Zeiteingabe in Atomuhrenzeit bzw. terrestrische Zeit (TT) unterscheidet sich diese um die Differenz DT von der Weltzeit
(TT = UT + DT oder TT = TAI + 32.184 Sek. TAI = internationale Atomzeit).
Eingabe Weltzeit, automatischer Berechnung der Zeitkorrektur DT auf 1 Zeitminute (UT = TT - DT).
Eingabe Weltzeit u. Zeitkorrektur (D
T lt. Tabelle) für sekundengenaue Berechnung (UT = TT - DT).
Bei Zeitangaben in Atomuhrenzeit (TT) bezieht sich sowohl die eingegebene als auch ausgegebene Länge nicht mehr auf den geographischen Greenwich-Nullmeridian, sondern auf den dynamischen Nullmeridian (Ephemeridenlänge), der sich auf der
Länge 0.0041780742° * DT (DT in Zeitsekunden) östlisch des geograph. Nullmeridians befindet.
Aus dynamischer Länge (Ephemeridenlänge) u. Zeit erhält man die auf die mittlere Sonnenzeit bezogene geograph. Länge u.
Weltzeit (UT) nach folg. Zeitkorrektur: UT = TT - DT.
Geograph. Länge = (+)östl./(-)westl. dynamische Länge + 0.0041780742° * DT.
Dynamische Länge (Ephemeridenlänge) = (+)östl./(-)westl. geograph. Länge - 0.0041780742° * DT.
DT - TT - UT
Die sehr genaue Zeitbestimmung mit Quarz- u. Atomuhren förderte geringfügig unregelmßige Schwankungen der Erdrotation zu Tage. Die Gangabweichung betrug z. B. 1871 -0.005 Sek. u. 1907 +0.002 Sek. Diese Fluktuationen haben wahrscheinl.
ihren Grund in Masseverlagerungen im Erdinneren u. meteorologischen Vorgängen. Die Gezeitenreibung, die sich im Laufe
der Zeit beträchtlich aufsummiert, führt zu einer ständigen Abbremsung der Erdrotation. Durch sie wird der Tag pro Jhd. um 0.0018s vergrößert.
Die Zeitbestimmung aus der Erddrehung ist nicht sehr konstant; man ist daher zu einer völlig gleichmäßig ablaufenden von der Erdrotation unabhängigen, künstl. Zeit (Inertialzeit TT) übergegangen, wie sie heute von Atomuhren am besten
wiedergegeben wird.
Die UT lät sich nicht vorhersehen, da die Fluktuationen nicht vorausberechenbar sind. Die genaue Zeitkorrektur DT ist daher nur aus astronomischen Beobachtungen (Sternbedeckungen, Finsternissen), oder mit Atomuhren im Vergleich mit Meridiandurchgänge der Sterne, bestimmen. Die Differenz (DT) zwischen UT (universal time = Weltzeit) u. der mit
Atomuhren kontrollierten TT summiert sich im Laufe der Zeit beträchtl. auf u. betrug z. B. 1951 Jahre vor Chr. +12 Std. u. 46 Min.
Interne Zeitkorrektur: DT = 0.0033 Sek. * (J-1810)2 (J = Jahr).
Approximierte Zeitkorrektur (Stephenson/Morrison) nach den neuesten Konstanten u. Theorien (UT-Abweichung um 4000
v. Chr. bzw. 8000 n. Chr. 2 Std.): DT = -15 Sek. + (32.5 ± 2) Sek. * (T-0.1)2. T in Jahrh. ab 1800 (2499 - 1800)/100 = T 6.99. (6.99-0.1)2 = 47.4721. DT im Jahre 2499 = 1528 Sek. (Eingabe stets in Sek.).Stephenson/Morrison, 1982, Sun and Planetary Systems, vol. 96, 73, ed. W. Fricke, G. Teleki, Reidel, Dordrecht.
Korrektionswert der histor. Astronom. nach Stephenson/Morrison, 1984, Phil. Trans Royal Soc., A, Vol. 313, p. 47-70. T = (J-1800)/100:
Jahre -390 bis +948: DT (Sek.) = 1360+320*T+44.3*T2.
Jahre +948 bis +1600: D
T (Sek.) = 25.5*T2.
Neuester Korrektionswert der histor. Astronom. nach Stephenson/Houlden, 1986, >Altlas of Historical Eclipse Maps<, Cambridge University Press, England, p. x. T = (J-948)/100. t = (J-1850)/100:
Jahre vor +948: DT (Sek.) = 1830-405*T+46.5*T2.
Jahre +948 bis +1600: DT (Sek.) = 22.5*t2.
Ältere Werte (Zeitkorrektur nach den alten Konstanten u. Theorien) : Mller/Stephenson, 1975, Growth ryhthms and the
history of the Earth's rotation, ed. G. D. Rosenberg & S. K. Runcorn, pp. 459 - 534. London: Wiley & Sons. Spencer Jones (T in Jahrh. ab 1900):
DT = 24.349 + 72.318*T + 29.95*T2 + (Fluktuationen). Spencer Jones, 1939, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, England, 99, p. 541 - 558.
Die jeweilige aktuelle, sekundengenaue Zeitkorrektur DT wird in den jährl. erscheinenden astronom. Jahrbüchern
angegeben (in Bibliotheken einzusehen oder bei den Volkssternwarten u. astronom. Vereinigungen zu erfragen oder der Tabelle auf der Website von Spaceglobe zu entnehmen - s. “Sternbeobachtung”), oder ist aus eigenen Beobachtungen zu
bestimmen (Beobachtungsanleitung in “die Sonne” und “Der Mond”). Sonnenfinsternisperioden
Periodizität nach G. van den Bergh:
Finsternischrakteristik: Periode Accuratissima 58 i + 9 s = 22771 Lunationen = 672441 Tage = 1841 Jahre + 30 Tage.
Zeitpunkt der ekliptikalen Konjunktion Sonne-Mond Periode Palae-Horologia 55 i + 3 s = 20359 Lunationen = 601213 Tage = 1646 Jahre + 25 Tage. Periode Trihex 3 i + 6 s = 2412 Lunationen = 71228 Tage = 195 Jahre + 6 Tage.
Anwendung: Gesuchte Finsternis W; Finsternis X eine Trihex vor W; Finsternis Y eine Palae-Horologia vor W; Finsternis Z eine Trihex vor Y (oder W - Accuratissima).;
Gesuchte Uhrzeit der ekl. Konjunktion von W = Uhrzeit X + Uhrzeit Y - Uhrzeit Z - 0h17m.
Geograph. Länge der Zentrallinienkardinalpunkte Finsternisanfang (Sonnenaufgang), -mitte (Mittag) u. -ende
(Sonnenuntergang): Periode Heliotrope 58 i + 6 s = 22102 Lunationen = 652685 Tage = 1787 Jahre - 3 Tage. Geogr. Länge der Hauptpunkte der Finsternis W = geogr. Länge der Finsternishauptpunkte einer Heliotrope früher + 0.25 Grad (Ostlänge
positiv, Westlänge negativ).
Geograph. Breiten obiger Zentrallinienkardinalpunkte: Periode Accuratissima 58 i + 9 s = 22771 Lunationen = 672441 Tage = 1841 Jahre + 30 Tage. Saros-Periode 1 s = 6585 Tage = 18 Jahre + 11 Tage.
Verfahren: Gesuchte Finsternis W; Finsternis X einen Saros vor W; Finsternis Y eine Accuratissima vor W; Finsternis Z einen Saros vor Y. Geographische Breite der Hauptpunkte von W = Breite der Hauptpunkte von X + Breite der
Hauptpunkte von Y - Breite der Hauptpunkte von Z.
Gesuchte Sonnenfinsternis (W) am 11.8.1999 = JD 2451402 Tage. Art und Größe der Finsternis W: JD 2451402 -
Accuratissima 672441 Tage = X JD 1778961 Tage = X 13.7.158 = totale Sonnenfinsternis = total am 11.8.1999.
Uhrzeit der Finsternis (ekl. Konjunktion): W JD 2451402 - Trihex 71228 Tage = X JD 2380174 Tage = X 5.8.1804 (=
11.8.1999 - 195 Jahre + 6 Tage = 5.8.1804) = Uhrzeit (ekl. Konj.) der Finsternis X vom 5.8.1804 um 16h5m UT.
W JD 2451402 - Palae-Horologia 601213 Tage = Y JD 1850189 = Y 17.7.353 = Uhrzeit Y 3h52m UT.
Y JD 1850189 - Trihex 71228 Tage = Z JD 1778961 = Z 13.7.158 = Uhrzeit Z 8h18m UT.
Uhrzeit der Finsternis am 11.8.1999 (ekl. Konj.): X 16h5m + Y 3h52m - Z 8h18m - 0h17m = W 11h24m UT (Computerwert 11h8m30s UT).
Ekl. Länge der Konjunktion: X 132.8° + Y 114.1° - Z 108.5° = W 138.4° ekl. Länge am 11.8.1999 (Computerwert 11.8.1999, 11h08m UT = 138.3° ekl. Länge).
Länge der Kardinalpunkte der Zentrallinie: W JD 2451402 - Heliotrope 652685 Tage = X JD 1798717 = X 14.8.212: Uhrzeit der ekl. Konj. um 6.7h UT, ekl. Länge der Konj. 140.3°. Länge im Aufgang +3.3° östl. Länge, Mittag +83.4° östl. L.,
Untergang +149.8° östl. L.
Differenz der ekl. Konj. in ekl. Länge: 11.4h UT (11.8.1999) - 6.7h UT (14.8.212) = 4.7h * 15 Grad = Differenz 70.5 Grad.
12h WOZ Greenwich - 11.4h UT + (-0.1h [MOZ in WOZ] Zeitgleichung am 11.8.) = 0.7h * 15 = Konj. in ekl. Länge auf +10.5° östl. geograph. Länge.
12h WOZ Greenwich - 6.7h UT + (-0.1h [MOZ in WOZ] Zeitgleichung am 14.8.) = 5.4h * 15 = Konj. in ekl. Länge auf +81.0° östl. geograph. Länge.
Differenz 70.5°: +3.3° - 70.5° = Anfang am 11.8.1999 auf -67.2° w. L.; +83.4° - 70.5° = Mittag auf +12.9° ö. L. +149.8° - 70.5° = Sonnenuntergang bzw. Finsternisende auf +79.3° ö. L. (Computerwerte am 11.8.1999: Länge im Aufgang -65.1° w.
L., Mittag +18.5° ö. L., Untergang +87.3° ö. L.).
Geograph. Breite obiger Zentrallinienkardinalpunkte: W JD 2451402 - Saros 6585 Tage = X JD 2444817 = X 31.7.1981 = X
Br. im Aufgang 42°, Mittag 54.5°, Untergang 24.9°. W JD 2451402 - Accuratissima 672441 Tage = Y JD 1778961 = Y 13.7.158 = Y Breite im Aufgang 37.5°, Mittag 61.4°, Untergang 33.4°.
Y JD 1778961 - Saros 6585 Tage = Z JD 1772376 = Z 2.7.140 = Z im Aufgang 38.3°, Mittag 68.1°, Untergang 41.8. X 42° + Y 37.5° - Z 38.3° = W 41.3° (Computerwert 41.0° geogr. Breite der Zentrallinie bei Sonnenaufgang am 11.8.1999. X
54.5° + Y 61.4° - Z 68.1° = W 47.8° (Computerwert 46.8°) = geograph. Breite der Zentrallinie zu Mittag. X 24.9° + Y 33.4° - Z 41.8° = W 16.3° (Computerwert 17.5°) = geograph. Br. der Zentrallinie bei Sonnenuntergang.
Abschätzung von Neumonden und Sonnenfinsternissen
Dieses Kurzverfahren dient zur weiteren Veranschaulichung des Sichtbarkeitsgebiets bzw. Ablaufs einer Sonnenfinsternis, so
daß sich die Finsternisabläufe bald schnell Überschlagen lassen.
Blatt D (Fig. 33) zeigt das Gradnetz der Erde zu 5 Grad, gesehen von der Sonne. Die Sonne (bzw. Neumond) bildet den
Mittelpunkt (Sub-Solar Ort). Die Linie B markiert daher den von der Sonne sichtbaren Zentralmeridian (Mittagslinie um 10.83h UT am 11.8.1999) der Erde. Die Deklination (D) der Sonne bestimmt somit den Neigungswinkel der Erdachse (D
+15.3° am 11.8.1999 um 11h08m UT; Blatt D 16°, R = Radius 84.5 mm). Der Positionswinkel (g ) der Erdachse (Linie B) im Ekliptiksystem, gesehen von der Sonne, mißt stets ab dem ekl. Längenkreis (Linie A) entgegen dem Uhrzeigersinn (Linie
A = ekl. Längenkreis der Sonne + 180°). Der entgegengesetzte ekl. Längenkreis der ekl. Konjunktionszeit zwischen Sonne u. Mond (Neumond) bildet daher die Linie A. Die rechtwinklig dazu verlaufende Linie A1 bezeichnet daher stets den ekl.
Breitenkreis 0 Grad (Ekliptik). B1 (links) = Westrand, B1 (rechts) Ostrand der Erde. Bei südl. Deklin. der Sonne ist das Blatt einfach auf den Kopf zu stellen (Norden stets oben).
e = Ekliptikschiefe 23.45° - 0.013° ((J-2000)/100); J = Jahr. k = ekl. Länge der Sonne. Deklination der Sonne: arcsin D = sin(k) sin(e).
Positionswinkel der Erdachse im Ekliptiksystem, gesehen von der Sonne: arctan g = -cos(k) tan(e), oder arcsin g = -(sin(e) cos(k ))/cos(D).
Kleinste Dinstanz ( c) der Mondschattenachse vom Erdmittelpunkt (Geozentrum) in Erdradien zu Mittag (Achse schneidet die
Mittagslinie B zu Mittag) = b = ekl. Br. des Mondes mal 16.5' (md') scheinbarer Winkelhalbmesser des Mondes (Finsternis
auf der Südhemisphäre der Erde = negative ekl. Breite [-b], auf der Nordhemisphäre [+b] pos. ekl. Br. des Mondes). c> 0.9972 + l1 (Mondhalbschattenradius) = keine Sonnenfinsternis. Ekl. Breite des Mondes b<=1.6° Sonnenfinsternis partiell;
ekl. Br. des Mondes b<=1° zentrale Sonnenfinsternis. Geograph. Breite zum Zeitpunkt der Finsternismitte = Deklination der Sonne + arcsin(b) ekl. Breite des Mondes.
Differenz geozentrischer Winkelhalbmesser Mond-Sonne (d): d 1' = totale Finsternis (t) um 6 Min., d 0.8' = 5 Min., d 0.6' =
4 Min., d 0.4' = 3 Min. 0.2' = 2 Min. Dauer ringförmig-totale Finsternis (rt) d 0.00' 1 Min. Dauer, d -0.2' 0 Min. Dauer;
ringförmige Finsternis d -0.4' = 1 Min., d -0.6' = 2 Min., d -0.8' = 4 Min., d -1' = 6 Min., d -1.2' = 8 Min., d -1.4' = 10
Min., d -1.6' = 12 Min. Dauer.
Differenz topozentr. Winkelhalbmesser Mond (dt' = [60.3*md']/[60.3-sin h Mondhöhe]) minus Sonne (sd´) = Kernschattendurchm. auf der Erdoberfläche: (dt' - sd' = dt) dt 1.3' = 260 km, 1' = 200 km, 0.8' = 160 km, 0.6' = 120 km,
0.4' = 80 km, 0.2' = 40 km, 0' = 0 km.
Halbmesser (l1) des Mondhalbschattens und Bewegung des Mondschattens (vs) relativ zur Erde in Erdradien je Std. u.
Relation zum scheinbaren Winkelhalbmesser des Mondes (md'): md' 17' = l1 0.53 Erdradien, vs 0.58 Erdardien; md' 16.5' = l1 0.54, vs 0.56; md' 16' = l1 0.55, vs 0.54; md' 15.5' = l1 0.56, vs 0.52; md' 15' = l1 0.57, vs 0.50.
Sonnenfinsternis 11.8.1999 (Computerwerte): Konjunktion Sonne-Mond (Neumond) in ekl. Länge (auf Linie A) 11h8m30s UT (11.14h UT); ekl. Breite des Mondes (b) +0.492°; ekl. Länge der Konj. Sonne/Mond 138.353°; Positionswinkel der
Erdachse ( g) +18°; scheinb. Winkelhalbmesser des Mondes (md') 16.0', der Sonne (sd') 15.8'; Differenz (d) 0.2'. Die Finsternis vom 11.8.1999 findet im aufsteigenden Mondknoten statt, da die ekl. Breite des Mondes zunimmt. Die Linie CO
bildet dann mit der Linie A1 (Ekliptik) einen aufsteigenden +5.3° Winkel.
Der östliche Teil der Linie CO liegt somit oberhalb der Linie A1. Findet eine Finsternis am absteigenden Mondknoten statt,
bildet die Linie C0 mit A1 den absteigenden Winkel -5.3°. Die östl. Linie C0 liegt sodann unterhalb der Linie A1. Bei 0 Grad ekl. Breite (b) bewegt sich der Kernschatten des Mondes exakt auf der Linie CO und ginge durch den scheinbaren
Erdmittelpunkt (Sub-Solar Ort). Die ekl. Br. des Mondes beträgt hier jedoch +0.492°, so daß der kleinste Abstand der
Zentrallinie +0.507 Erdradien (+0.492*[16.5'/md' 16']) beträgt. Parallel zur Linie CO zeichnet man demnach die Zentrallinie der Kernschattenkegelachse C ein (Radius der Skizze R 84.5 mm * +0.507 Erdradien = nördl. Abstand AO von CO +42.8
mm).
Mit d 0.2' ist die Finsternis für rund 2 Min. total. Mit md' 16.0' mißt der Halbschatten (Linie C1 u. C2) des Mondes l1 0.55
Erdradien (R 84.5 mm * l1 0.55 = Linie C1 und C2 46.5 mm ober- u. unterhalb der Zentrallinie C). Der Schatten bewegt sich mit vs 0.54 Erdradien pro Std. von Westen nach Osten. Sonnenaufgang am Ostrand der Erde = Schatteneinritt am
Westrand, Sonnenuntergang am Westrand = Schattenaustritt am Ostrand der Erde.
Eintritt (Punkt D auf der Zentralinie Fig. 33) des Kernschattens (Sonnenaufgang) nach dem Gradnetz zu 5 Grad bei w +42° nördlicher geograph. Br. (Computerwert w +41.0°), bei w +47° (Computerwert w +46.8° n. Br.) kreuzt die Schattenbahn
die Mittagslinie B (= 12 Uhr wahre Ortszeit [WOZ] entlang der Mittagslinie -0.085 Zeitgleichung [am 11.8.] um 11.92h MOZ - k +18.8° östl. Länge/15° [15° = 1 Std.]) der Mittagslinie B = um l10.67h UT) und verläßt bei w +18° (Computerwert
+17.6°) die Erde (Sonnenuntergang).
Schatteneintrittsort D -77.5 mm westl. der Linie A bzw. AO, Mittag D1 -14.0 mm westl. AO, Schattenaustritt +67.5 mm
östlich AO. -77.5 mm/R 84.5 mm = 0.917 Erdradien/vs 0.54 Erdradien = -1.70 Std. -14.0/R 84.5 = 0.168/0.54 = -0.31h; +67.5/R 84.5 = 0.799/0.54 = +1.48h.
Konjunktion in ekl. Länge (Linie A) um 11.14h UT -1.7h = Schatteneintritt (D) um 9.44h UT (Computerwert 9.5h); 11.14h UT -0.31h = Finsternis zu Mittag (D1) um 10.83h UT (Computerwert 10.85h); Austritt (D2) um 11.14h UT +1.48h =
12.62h (Computerwert 12.6h).
Uhrzeit eines Ortes >12 Uhr = negative Westlänge, Uhrzeit <12 Uhr = poistive Ostlänge. Um die geograph. Länge zu den
geograph. Breiten obiger Hauptpunkt zu erhalten, sind die mittl. Zeiten durch Anbringen der Zeitgleichung (s. S. 44) in wahre umzuwandeln. ZG am 11.8. = -5.1 Min. = -0.085 Std. (Vorzeichen MOZ in WOZ).
12h WOZ Greenwich (0° geogr. Länge) - (9.44h - ZG 0.085h) = 2.645h (vor 12h) * 15 Grad = Mittelmeridian zu diesem Zeitpunkt auf k +39.7° östl. Länge. Da der Schatteneintrittspunkt der Sonnenaufgangszeitpunkt ist, beträgt der halbe
Tagebogen (T) der Sonne für die geogr. Breite des Schatteneintrittspunktes (w +42°) = T 104.3° (arccos T 104.3° = -tan(D +15.3° Deklination der Sonne D) * tan(w +42° geogr. Breite des Ein- bzw. Austrittspunktes - falls T negativ +180 Grad
addieren). Mittelmeridian k +39.7° - Tagebogen der Sonne T 104.3° = geogr. Länge des Schatteneintrittspunktes D k -64.6° (Computerwert -65.1°).
12h WOZ Greenwich - (10.83h - ZG 0.085h) = 1.255h * 15 Grad = Mittelmeridian D1 auf k +18.8° (Computerwert +18.5) = geographische Länge der Mittagslinie B.
12h WOZ Greenwich - (12.62h - ZG 0.085h) = -0.535h * 15 Grad = Mittelmeridian auf -8.0° westl. Länge (>12h) + T 95.1° = k +87.1° (arccos T 95.1° = -tan[D +15.3°] * tan[w +18°]) = geograph. Länge des Schattenaustrittspunktes D2
(Computerwert k+87.3°).
Die Kulminationshöhe Sonne-Mond zu Mittag um 10.83h UT im Süden beträgt: 90° - (w +47°) = 43° + Deklin. D (+15.3°)
= h +58.3°. Jeweilige Sonnenhöhe für Orte auf der Linie zwischen dem Mittelpunkt (Sub-Solar Ort = Sonne/Mond im Zenit = Höhe über dem Horizont = 90 Grad) u. dem Erdrand (Sonnenhöhe 0 Grad) aus: arccos h = 1 - E/R 84.5 mm.;
Länge E-E1 = E 36.6 mm = h 55° auf k +6.8° östl. L. u. w + 49° n. Br. (= Mittelmeridian um 10.83h UT auf +18.8° -12° = k +6.8° um 10h34m UT = Strecke E1-D1 = 12 mm/R 84.5 = 0.142 Erdradien/vs 0.54/h = 10.83h - 0.26h = 10.56h =
10h34m UT). Größe (g) der Finsternis: g = r/(R 84.5 * l1).
Alexandria (w +31.2°, k +29.9°) r 30 mm ab Linie C2 (C2 = g 0.00), C = g 1.00 (= 100 % verfinstert): r 30/(84.5*0.55) = g
0.64 = 64 % des Sonnendurchmessers vom Mond bedeckt, um 11h15m UT (= Linie D1-AA = 19 mm/84.5 mm = 0.225 Erdradien/vs 0.54 = 10.83h UT + 0.42 Std. = 11h15m UT). Um 11h15m UT befindet sich der Kernschatten auf der
geograph. Länge u. Breite: 12 WOZ Greenwich - (11.25h - Zeitgleichung ZG 0.085h) = +0.835h * 15° = Mittagslinie um 11h15m UT +12.5° +17.5° (Gradnetz ab Mittelmeridian bis AA) = 30° ö. L., w +43° (= geogr. Br. Punkt AA).
Lunar-Halbschatten (mit l1 0.55 Erdradien Radius) und (dt' 16.23' - sd' 15.8' = dt 0.43' =) 90 km Kernschattendurchm. auf
der Erdoberfl. um 11h15m UT auf w +43° n. B., k +30° östl. Länge. Entfernung Sonnen-/Mondmitte = 151 255 639 km, und topozentr. Entf. des Mondes vom obigen Kernschattenort um 11h15m UT = 367 886 km.
Wahrer Sonnen- u. Mondurchm. 1 392 000 km u. 3476 km. D = 1392000*(367886/151255639 km); d = 3476*(1+367886/151255639); Durchm. des lunaren Halb- u. Kernschattens auf obiger geograph Breite u. Länge Ort AA),
um 11h15m UT: 6780.1 km = D + d und 98.8 km = D - d.
Bestimmung der Differenz D
T = TT - UT aus Sonnenfinsternisbeobachtungen
Die Koordinierte Weltzeit UTC (s. Abschnitt »Zeitzeichen« s. “Sternbeobachtung”) der Beobachtungszeit ist durch Anbringen von DUT1 in UT1 umzuwandeln: UT1=UTC+DUT1.
Da die Beobachtungszeit in UT1 vorliegt und man Ephemeriden nach Ephemeridenzeit (ET=ephemeris time) berechnet, kann ET=UT1+ D
T astronomisch ermittelt werden. Die terrestrische Zeit (TT) ist die physikalisch bestimmte Ephemeridenzeit (TT = TAI + 32.184s) in erster Näherung: TT ~ ET.
Aufnahmeserie mit einer am Okularauszug des Teleskops angebrachten Spiegelreflexkamera oder Teleobjektiv. Einstellung der Belichtungszeit (Objektivfilter) und Bildschärfe am besten durch Probeaufnahmen. Aufnahmezeit (UT1) möglichst
präzise auf 0.1 Sek. genau bestimmen (Stoppuhranschluß an ein Zeitzeichensignal oder zur Not an eine DCF77 Funkuhr, Kameraverschluß mit Drahtauslöser). Eine Reihe partieller Phasen der Sonnenfinsternis aufnehmen. Da nur die Distanz
zwischen Sonnen- u. Mondmitte gemessen wird, nicht der Positionswinkel, ist eine äquatoriale Ausrichtung des Koordinatenkreuzes nicht erforderlich. Bei Einzeichnung des Kreuzes ist lediglich auf exakten rechtwinkligen Verlauf der
Achsen zu achten. Da topozentrische Sonnen- u. Mondkoordinaten verwendet werden, müssen die geographischen Koordinaten der Beobachtungsstation bogensekundengenau ((±1'', Höhe über Meeresspiegel ±30 Meter) bekannt sein.
Gemessen wird die Distanz Sonnenmittelpunkt-Mondmittelpunkt. Willkürlich eine waagerechte Linie (-x-Achse rechts) ziehen und eine zweite (+y-Achse oben) die exakt rechtwinklig zur waagerechten verläuft. Die Ausmessung erfolgt an diesem
sorgfältig rechtwinklig eingezeichneten Kreuz in Rechteckkoordinaten (x,y). Falls kein Mikroskop mit Mikrometer oder Koordinatenmeßtisch zur Verfügung steht, behilft man sich mit dem Diaprojektor. Der Vergrößerungsfaktor des an die Wand
projizierten Negativs ergibt sich durch Division des Negativformates durch das projizierte, oder durch den berechneten Sonnendurchmesser in Millimeter auf dem Negativ durch den projizierten.
Topozentrischer Sonnendurchmesser z. B. 0.518 Grad / 57.295779513 * F 1000 mm = 9.0408 mm auf dem Negativ. Gemessener Sonnendurchmesser der Projektion 452.04 mm / 9.0408 = 50fache Vergrößerung. 0.1 mm der Projektion
entsprechen 0.1/50 = 0.002 mm auf dem Negativ. Die opt. Achse des Projektors sollte exakt rechtwinklig zur Projektionsebene verlaufen, worauf besonders bei Aufnahmen der projizierten Sonne zu achten ist (evtl. planen Spiegel an
die Wand anlegen u. den durch eine Lochblende projizierten Lichtpunkt auf den Ausgangspunkt zurückwerfen).
Um die xs-,ys-Koordinate des Sonnen- und xm-,ym-Koordinate des Mondmittelpunktes zu erhalten, sind etwa 30-40 Punkte
des Sonnenumfangs u. Mondumfanges (Phase) zu vermessen (Fig. 34).
Kreisgleichung (x-a)2+(y-b)2 = r2; a,b=rechtwinklige Koordinaten der Mondmitte ab Koordinatenkreuz, r=Mondradius.
x2+y2-2xa+a2-2yb+b2-r2 = 0.
x2+y2+a*x+b*y+c = 0.
a x(n) + b y(n) + c = x(n)2+y(n)2; 1,2,3...,n.
Die Koeffizienten a,b,c ergeben sich durch die Methode der kleinsten Quadrate.
Normalgleichung:
n1 c + [x] a + [y] + b = [X]
[x] c + [xx] a + [xy] + b = [xX]
[y] c + [xy] a + [yy] + b = [yX]
REM BEISPIEL. x-,y-KOORDINATE SONNENMITTE/MONDMITTE
DIM p(10,10),ko(10,10),x(130),y(130),r(130)
REM WERTPAARE RANDPUNKTE DES SONNENUMFANGS
n1 = 11 //EINTRAG ANZAHL GEMESSENER WERTPAARE
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
READ x,y
x(i) = x
y(i) = y
r(i) = x ^ 2 + y ^ 2
NEXT i
dat: //GEMESSENE x,y WERTPAARE SONNNEUMRISS
DATA -37,5.5,-23,14,-13,25,-6,39,-3,53,-4,68.8,-10.5,86.8,-27.1,104.5,-51,114.5,-77,112.5,-96.7,102.5
REM ----------------------------------
GOSUB min
PRINT "SONNENMITTELPUNKT:"
PRINT "ANZAHL MESSUNGEN: ";n1
PRINT "MITTELPUNKT xs: ";ko(2,1) / 2
PRINT "MITTELPUNKT ys: ";ko(3,1) / 2
PRINT "SONNENRADIUS...rs: ";r
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTL. FEHLER xs..: ";mfx
PRINT "MITTL. FEHLER ys..: ";mfy
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv1
REM -----------------------------------
REM WERTPAARE RANDPUNKTE DES MONDUMRISSES
n1 = 10 //EINTRAG ANZAHL GEMESSENER WERTPAARE
RESTORE dat1
FOR i = 1 TO n1
READ x,y
x(i) = x
y(i) = y
r(i) = x ^ 2 + y ^ 2
NEXT i
dat1: //GEMESSENENE x,y WERTPAARE MONDUMFANG
DATA -43,13,-41.5,23.8,-41.5,33.2,-44.5,44,-49,56,-54,63,-62,71.5,-73,78.8,-90.5,84,-104,84
REM ----------------------------------
GOSUB min
PRINT "MONDMITTELPUNKT:"
PRINT "ANZAHL MESSUNGEN: ";n1
PRINT "MITTELPUNKT xm: ";ko(2,1) / 2
PRINT "MITTELPUNKT ym: ";ko(3,1) / 2
PRINT "SONNENRADIUS...rm: ";r
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTL. FEHLER xm..: ";mfx
PRINT "MITTL. FEHLER ym..: ";mfy
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv1
REM -----------------------------------
END
PROCEDURE min
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM AKKUMULATION
rr = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
r = 0
xr = 0
yr = 0
FOR i = 1 TO n1
x = x + x(i)
y = y + y(i)
xx = xx + x(i) * x(i)
xy = xy + x(i) * y(i)
yy = yy + y(i) * y(i)
r = r + r(i)
rr = rr + r(i) * r(i)
xr = xr + r(i) * x(i)
yr = yr + r(i) * y(i)
NEXT i
REM ---------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = r //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(1,7) = 0 //4. RESIDUENVEKTOR
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xr //1. RESIDUENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1 //3. RESIDUENVEKTOR
p(2,7) = 0 //4. RESIDUENVEKTOR
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yr //1. RESIDUENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(3,7) = 1 //4. RESIDUENVEKTOR
REM --------------------
GOSUB elim
REM -----------------------------------
vv = rr - r * ko(1,1) - xr * ko(2,1) - yr * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRAT BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv1 = vv1 + (r(i) - (ko(1,1) + x(i) * ko(2,1) + y(i) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 3))
s1 = SQR(s)
mfx = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
mfy = SQR(ABS(s * ko(3,4)))
r = SQR(ABS(ko(1,1) + ((ko(2,1) / 2) ^ 2 + (ko(3,1) / 2) ^ 2))) //RADIUS
RETURN
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Meßergebnis (Fig. 34): Sonnenmittelpunkt xs -60.3 ±0.3 mm, ys 57.8 ±0.2 mm, Sonnenradius 57.4 mm. Mondmittelpunkt xm -98.5 ±1 mm, ys 27.3 ±0.8 mm, Mondradius 57.2 mm.
d 48.904 mm = í((-60.275-(-98.518))2+(57.794-27.341)2). In praxi wird der Umfang am Meßtisch aus zahlreichen Meßpunkten auf etwa 0.001 mm genau vermessen.
Sind xs,ys (mm) die gemessenen Koordinaten der Sonnenmitte und xm,ym (mm) die der Mondmitte, F die Brennweite des Teleskops (mm), V=Vergrößerungsfaktor der Projektion, ist d'' die Distanz Sonnenmitte-Mondmitte in Bogensekunden. d
(mm) = í((xs-xm)2+(ys-ym)2); d (mm) Distanz in Millimeter. 1 Bogensekunde auf der Projektion = k (mm) =(1/206264.806'')*V*F. d´´ = d (mm) / k.
Die Primärbrennweite F des Fernrohrs ist genau zu bestimmen (s. “Der Mars” oder “Sternbeobachtung”). Der Abstand des vom Objektiv entworfenen Bildes von der Linse ist bei Refraktoren leicht nachzumessen.
F=(13713.440925*k)/(t*cos(dek)); F=Brennweite des optischen Systems. k=Länge einer Teilung in Millimeter, t=gestoppte Zeitsekunden, dek=Deklination des Anhaltsterns.
Beispiel. k=Länge der Teilung eines Okular-Mikrometerplättchens 10 mm, dek=23.561 Grad. Stern »läuft« 10 mm in t=149.61 Sek = Brennweite des opt. Systems F=999.98 mm.
Die berechneten Distanzen von Sonnenmitte und Mondmitte vergleicht man mit den gemessenen.
Sind ars,ds=topozentrische scheinbare Deklin. und Rektaszension der Sonne in Gradmaß, arm,dm die topozentrische (auf
den Beobachtungsort bezogene) scheinbare Deklin. u. Rektaszension des Mondes in Gradmaß, ist die berechnete Distanz s´´ in Bogensekunden: y=ds-dm; x=(ars-arm)*COS(0.5*(ds+dm)); s´´=í(x*x+y*y)*3600''. s´´ =
Arccos(sin(ds)*sin(dm)+cos(ds)*cos(dm)*cos(ars-arm))*2062264.806´´.
d´´ ist durch Ausmessung der Photographie zum Aufnahmetermin bekannt. Die Rechnung mit einer angenommenen Reihe
D
T (z. B. 59.1,59.2,59.3... usw.) zum Aufnahmetermin, ergibt entsprechende s´´ bzw. die Differenzen ds´´ = d´´-s´´. Bei richtigem D
T wird ds´´ = 0.
Die Ephemeridenzeitkorrektur ergibt sich durch Ausgleichsrechnung. Bedingungsgleichung: ds´´ = a + b *D
T (Lineare Regression). Man bestimmt D
T aus der Aufnahmeserie und bildet den Mittelwert. Siehe “Der Mond”.
REM AUSGLEICHUNG VERMITTELNDER BEOBACHTUNGEN NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE (LINEARE REGRESSION)
DIM x(100),y(100)
dt = 60 //EINTRAG EPHEMERIDENZEITKORREKTURWERT deltaT
n = 7 //ANZAHL WERTPAARE
x(1) = 59.5 // ZEITDIFFERENZ DT
x(2) = 59.61
x(3) = 59.69
x(4) = 59.75
x(5) = 59.81
x(6) = 59.89
x(7) = 60.05
REM -------------------
y(1) = -0.3 //DIFFERENZ ds´´
y(2) = -0.2
y(3) = -0.1
y(4) = 0.05
y(5) = 0.1
y(6) = 0.2
y(7) = 0.3
REM ---------------
xo = 0
yo = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
FOR i = 1 TO n
xo = xo + x(i)
yo = yo + y(i)
xx = xx + x(i) * x(i)
yy = yy + y(i) * y(i)
xy = xy + x(i) * y(i)
NEXT i
REM NORMALGLEICHUNGEN N*A+XO*B=YO; XO*A+XX*B=XY
a = (yo * xx - xo * xy) / (n * xx - xo ^ 2)
b = (n * xy - yo * xo) / (n * xx - xo ^ 2)
REM AUSGLEICHSGERADE (LINEARE REGRESSION)
dto = ABS(a / b)
d = a + b * dto
REM FEHLERQUADRATSUMME (F.Q.S.)
vv = yy - yo * a - xy * b
s = SQR(vv / (n - 2))
REM MITTLERER FEHLER (M.F.) a
mfa = s * SQR(xx / (n * xx - xo * xo))
REM MITTLERER FEHLER b
mfb = s * SQR(n / (n * xx - xo * xo))
PRINT "EPHEMERIDENZEITKORREKTURWERT deltaT: ";ROUND(dto,2);" SEK."
PRINT "DISTANZ........................: 0´´"
PRINT "KORREKTURWERT..................: ";dto;" SEK."
PRINT "DISTANZ........................: ";ROUND(d,2);"´´"
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";ROUND(mfa,4);"´´"
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";ROUND(mfb,4);"´´"
PRINT "MITTL. FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";ROUND(s,4);"´´"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.............: ";vv;"´´"
Bestimmung der Rotationselemente i und W der Sonne II
Die zuvor beschriebene Methode beruht auf Positionswinkelmessungen der solaren Achse. Die folg. Methode bestimmt die Lage der solaren Rotationsachse aus Positionswinkel- u. Distanzmessungen eines Sonnenflecks.
Distanz- u. Positionswinkelmessung eines bestimmten Sonnenflecks zu verschiedenen Zeiten (Mittelwert mehrerer Messungen). Gewinnung der Messdaten mit Positionsfadenmikrometer, Mikrometerplättchen oder Stoppuhr-Methode.
Polarkoordinaten (d,p) eines Sonnenflecks: Der Positionswinkel (p) wird man ab der irdischen Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn 0 bis 360 Grad, und die Distanz (d) ab dem scheinbaren Sonnenmittelpunkt gemessen.
d=gemessene und von Refraktion (s. S. 65) befreite Distanz Sonnenmittelpunkt-Sonnenfleck (in RAD); p=gemessener von Refraktion befreiter Positionswinkel (RAD) des Flecks (RAD x = Gradmaß x/57.29577951308); s=scheinbarer
geozentrischer Winkelradius der Sonne (RAD); f=heliozentrische Distanz des Flecks vom Sonnenmittelpunkt auf dem Großkreisbogen; b, k =heliozentr. ekl. Breite und Länge (ab Frühlingspunkt) des Flecks; 1 =ekl. Länge des Flecks ab
Sonnenmitte; b,l=heliograph. Breite und Länge; i, W=Winkel der Sonnenäquatorebene mit der Erdbahnebene (Ekliptik) u. aufsteigender Knoten (Schnittpunkt) des Sonnenäquators mit der Ekliptikebene; ls=ekliptikale Länge der Sonne,
ec=Ekliptikschiefe. PI=Ludolfsche Zahl: Pi=3.14159265358979323846 = RAD 180 Grad.
w=ARCTAN(TAN(ec)*COS(ls))
f=ARCSIN(SIN(d)/SIN(s)-d)
b=ARCSIN(SIN(f)*COS(p+w))
1=-ARCTAN(TAN(f)*SIN(p+w))
k=FN r(1-PI+ls)
b=ARCSIN(COS(i)*SIN(b)-SIN(i)*COS(b)*SIN(k - W)
l=ARCTAN(COS(i)*TAN(k - W)*((SIN(i)*TAN(b))/COS(k - W)))
Die Koeffizienten a,b,c der Elemente i und W findet man durch die Methode der kleinsten Quadrate.
Bedingungsgleichung: íp(n) c + íp(n) a sin( (n))*cos(b(n)) -
- íp(n) b cos( (n))*cos(b(n)) = íp(n) sin(b(n))
arctan W = b/a, arctan i=í(a2+b2).
h(n) = S sin(k(n))*cos(b(n))
j(n) = S -cos(k(n))*cos(b(n))
k(n) = S sin(b(n)); 1,2,3,...,n; p(n)=Gewicht der Messung.
Akkumulation:
[px] = S p(n)*h(n)
[py] = S p(n)*j(n)
[pz] = S p(n)*k(n)
[pxx] = S p(n)*h(n)*h(n)
[pxy] = S p(n)*h(n)*j(n)
[pxz] = S p(n)*h(n)*k(n)
[pyy] = S p(n)*j(n)*j(n)
[pyz] = S p(n)*h(n)*k(n)
Normalgleichung:
p c + [px] a + [py] + b = [pz]
[px] c + [pxx] a + [pxy] + b = [pxz]
[py] c + [pxy] a + [pyy] + b = [pyz]
Kontrolle: c=sin(b)/cos(i), a=tan(i)*cos(W), b=tan(i)*sin(W).
c+a*sin(k)*cos(b)-b*cos(k)*cos(b)=sin(k)
Das Progr. in “Der Mars” korrigiert die gemessenen Polarkoordinaten Distanz d´´ und Positionswinkel p für Refraktion,
Aberration, Nutation, Präzession, und reduziert d,p auf das mittl. Äquinoktium J2000. Beziechen sich die Koordinaten des
Nordpols (d1, a1) der Sonne auf das mittl. Äquinoktium J2000, sind die Ekliptikschiefe (ec=e) u. ekl. Länge der Sonne (ls) ebenfalls auf das mittl. Äquinoktium J2000 zu beziehen.
c=(1.39697°+0.0006173°*t1)*t+0.00003086°*t*t; ls (J2000) = FN r(ls+c); t1=(JD-2451545)/36525, t=(2451545-JD)/36525; JD=Beobachtungszeit.
Numerisches Beispiel: Messung am 16.8.1998 12 Uhr TT bis 26.8.1988 12 Uhr TT.
Am 16.8.1988 um 12 Uhr TT gemessene Distanz d=839.784'', Positionswinkel p=76.06831 Grad. Sonnneradius 947.769'', ekl. Länge der Sonne ls=143.826835 Grad, Gewicht der Messung g=1 (angenommene ideale Messwerte), Äquinoktium des Datums.
Messergebnis: i=7.27°, aufsteigender Knoten (W)=75.68°. Deklination u. Rektaszension des solaren Nordpols: d1 = 63.85°, a1 = 286.14°.
DIM p(10,10),ko(10,10),a(100),b(100),c(100),g(100)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (PI * 2)) * (PI * 2)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRADMASS IN RAD
n1 = 11 //ANZAHL MESSUNGEN
ec = FN rad(23.443294) //EINTRAG EKLIPTIKSCHIEFE ÄQUINOKT. DES DATUMS
REM ec=FN rad(23.4392911111) //EKLIPTIKSCHIEFE ÄQUINOKTIUM J2000
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
READ d,p,r,ls,g
r = FN rad(r / 3600) //SCHEINBARER GEOZENTR. SONNENRADIUS (RAD)
d = FN rad(d / 3600) //GEMESSENE DISTANZ DES FLECKS VOM SONNENMITTELPUNKT (RAD)
p = FN rad(p) //POSITIONWINKEL DES FLECKS (RAD)
ls = FN rad(ls) //EKLIPTIKALE LÄNGE DER SONNE (RAD)
f = ASIN(SIN(d) / SIN(r) - d)
w = ATN(TAN(ec) * COS(ls))
bet = ASIN(SIN(f) * COS(p + w))
lam = -ATN(TAN(f) * SIN(p + w))
lam1 = FN r(lam - PI + ls)
REM ARGUMENTE ------
a(i) = SIN(lam1) * COS(bet)
b(i) = -COS(lam1) * COS(bet)
c(i) = SIN(bet)
g(i) = g //GEWICHT DER MESSUNG
NEXT i
dat:
REM d (Bogensekunden),p (Grad),r (Bogensek.),ls (Grad),g (Gewicht)
REM Äuinoktium des Datums oder J2000
DATA 839.784,76.06831,947.769,143.826835,1
DATA 739.7,73.113209,947.9525,144.7885548,1
DATA 617.5134,67.1094448,948.13992,145.75058,1
DATA 487.4665,56.10383343,948.33125,146.7129404,1
DATA 398.43119,35.9605171,948.526205,147.67561,1
DATA 382.8482,7.594643,948.724487,148.6386017,1
DATA 458.8546,344.81416,948.92576,149.6019187,1
DATA 572.178,330.883854,949.12968,150.565566,1
DATA 702.6226,324.16235,949.335917,151.5295507,1
DATA 809.9044,320.710593,949.544158,152.493882,1
DATA 893.4871,319.31063,949.75415,153.458574,1
REM -------------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN c+a*sin( )*cos((&HE1);)-b*cos( )*cos((&HE1);)=sin((&HE1);)
REM NORMALGLEICHUNG FšR DREI UNBEKANNTE
REM [p] c + [px] a + [py] b = [pz],1,0,0
REM [px] c + [pxx] a + [pxy] b = [pxz],0,1,0
REM [py] c + [pxy] a + [pyy] b = [pyz],0,0,1
p = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
z = 0
xz = 0
yz = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i) //GEWICHT DER MESSUNG
x = x + a(i) * g(i)
y = y + b(i) * g(i)
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
z = z + c(i) * g(i)
xz = xz + a(i) * c(i) * g(i)
yz = yz + b(i) * c(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
REM -------------------------
p(1,1) = p
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = z //1. RESIDUUM
p(1,5) = 1 //2. RESIDUUM
p(1,6) = 0 //3. RESIDUUM
p(1,7) = 0 //4. RESIDUUM
REM ------------
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xz //1. RESIDUUM
p(2,5) = 0 //2. RESIDUUM
p(2,6) = 1 //3. RESIDUUM
p(2,7) = 0 //4. RESIDUUM
REM ------------
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yz //1. RESIDUUM
p(3,5) = 0 //2. RESIDUUM
p(3,6) = 0 //3. RESIDUUM
p(3,7) = 1 //4. RESIDUUM
GOSUB elim
co = ko(1,1) //KOEFFIZIENT c
ao = ko(2,1) //KOEFFIZIENT a
bo = ko(3,1) //KOEFFIZIENT b
i = SQR(ao ^ 2 + bo ^ 2)
y1 = bo / i
x1 = ao / i
k = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
i = ATN(i)
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = 0
FOR s = 1 TO n1 //FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv = vv + (c(s) - (ko(1,1) + a(s) * ko(2,1) + b(s) * ko(3,1))) ^ 2 * g(s)
NEXT s
REM MITTL. FEHLER KOEFFIZIENTEN a,b,c
s = ABS(vv / (n1 - 3))
mfc = SQR(s * ko(1,2))
mfa = SQR(s * ko(2,3))
mfb = SQR(s * ko(3,4))
s1 = SQR(s)
IF p <> n1 THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
REM DEKLINATION (dek) UND REKTASZENSION (arp) NORDPOL SONNE
dek = ASIN(COS(i) * COS(ec) - SIN(i) * SIN(ec) * COS(k))
y = (-COS(i) * SIN(ec) - SIN(i) * COS(ec) * COS(k)) / COS(dek)
x = (SIN(i) * SIN(k)) / COS(dek)
arp = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "NEIGUNGSWINKEL i..................: ";ROUND(DEG(i),4);" GRAD"
PRINT "AUFST. KNOTEN.....................: ";ROUND(DEG(k),4);" GRAD"
PRINT "DEKLINATION NORDPOL SONNE.......: ";ROUND(DEG(dek),4);" GRAD"
PRINT "REKTASZENSION NORDPOL SONNE.......: ";ROUND(DEG(arp),4);" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa;""
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT c....: ";mfc
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
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