|
REM bb,lo=AREOZENTRISCHE BREITE UND LÄNGE DES OBERFLÄCHENMERKMALS (die areoraph. Länge wird im Intervall 0=<lo<=PI*2 nach Westen entgegen der
Rotationsrichtung gemessen)
bb=ASIN(COS(J1)*SIN(bet1)-SIN(J1)*COS(bet1)*SIN(len1-N1)) //bb=gzb
y=(COS(bet1)*COS(len1-N1))/COS(bb)
x=(SIN(J1)*SIN(bet1)+COS(J1)*COS(bet1)*SIN(len1-N1))/COS(bb)
lo=FN r(ZM-ATN(x/(1+y))*2+K) //ZM=AREOGRAPH. LÄNGE ZENTRALMERIDIAN
Die Werte der 3 Unbekannten a,b,c erhält man durch die Methode der kleinsten Quadrate (least squere fit). Bedingungsgleichung:
c + a sin(len1(n)) cos(bet1(n)) - b cos(len1(n)) cos(bet1(n)) = sin(bet1(n)).
g(n)=p=Gewicht der Messung. Messungen nahe dem Marsrand erhalten ein geringes Gewicht (p=1). Zentrale Punkte der Marsoberfläche, die sicherer gemessen
werden, erhalten ein höheres Gewicht (p=2-5).
Parameter. 1,2,3,...,n Messungen
a(n)=sin(len1(n))*cos(bet1(n))
b(n)=cos(len1(n))*cos(bet1(n))
c(n)=sin(bet1(n))
Akkumulation (1,2,3,...,n Messungen):
[p] = S g(n)
[px] = S
g(n)*a(n)
[pxx] = S g(n)*a(n)*a(n)
[py] = S g(n)*b(n)
[pyy] = S g(n)*b(n)*b(n)
[pxy] = S g(n)*a(n)*b(n)
[pX] = S g(n)*c(n)
[pxX] = S g(n)*a(n)*c(n)
[pyX] = S g(n)*b(n)*c(n)
Normalgleichung:
[p] c + [px] a + [py] b = [pX],1,0,0
[px] c + [pxx] a + [pxy] b = [pxX],0,1,0
[py] c + [pxy] a + [pyy] b = [pyX],0,0,1
Winkel J1 und aufsteigender Knoten N1 des Marsäquators (auf dem Erdäquator (RAD):
J1=Å(a°+b°).
y=b/J1
x=a/J1
N1=arctan(y/(1+x))*2
J1=arctan(J1)
Deklination des Marsnordpols (rad): d1 = PI/2-J1.
Rektaszension des Marsnordpols (rad): a1 = FN r(N1-PI/2).
c=sin(bb)/cos(J1)
a=tan(J1) cos(N1)
b=tan(J1) sin(N1).
Numerisches Beispiel:
1. Messung am 1.7.1971, 1h TT, JD=2441133.541667, Distanz d=8.4748'', Positionswinkel ps=274.88509°.
Marsdeklin. dm=-18.907331°, AR=325.2993°, Marsentfernung rm=0.489078 AE,
Äquinoktium des Datums.
Die Messungen d,ps, Äquinoktium des Datums auf das mittl. Äquinoktium J2000 bezogen (s. REM KORREKTUR DER GEMESSENEN DISTANZ d UND POSITIONSWINKEL ps).
1. Messung d=8.47539'',ps=274.793156°J2000 (s. DATA-Abschnitt des Progr.).
Die Juli 1971 bestimmten Koordinaten des Marsnordpols (sind noch für Präzession der Marsachse zu korrigieren. JD=2441135 (=J1971.5):
d1 52.886° J2000 = 52.904°-0.061°*((2451545-JD)/36525)
a1 317.698° J2000 = 317.729°-0.108°*((2451545-JD)/36525)
Koordinaten des Marsnordpols, Äquinoktium der Epoche J2000 (1.1.2000, 12 Uhr TT =JD 2451545):
d1=52.886°-0.061°*T
a
1=317.698°-0.108°*T
T=(JD-2451545)/36525.
Den Messungen liegen >idealen< Werten zugrunde (Fehlerquadratsumme vv=0), so daß 12 Messungen ausreichen. Die Genauigkeit des Ergebnisses ist von der Präzision der Messung abhängig.
Im Fall der Marsachse liegt diese bei Bruchteilen der Bogensekunde in Distanz und 100stel Grad in Positionswinkel. Bei wenig genauen Messungen entscheidet die Zahl der Beobachtungen.
Das Oberflächenmerkmal einer bestimmten areograph.
Länge und Breite (Fig. 3,4) wird in der Regel über mehrere Oppositionen vermessen (d, ps).
REM ROTATIONSELEMENTE DEKLIN./AR POL MARS METHODE II OBERFLÄCHENMERKMALE
DIM p(10,10),ko(10,10),dm(30),ar(30),g(30),dp(30),a(30),b(30),c(30)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
REM --------------------------------
n1 = 12 //EINTRAG ANZAHL MESSWERTE
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1 //BERECHNUNG DER WERTE
READ jd,d,pw,dm,ar,rm,g
r = 4.684318 / rm //SCHEINBARER WINKELRDAIUS MARS (BOGENSEK.)
r = FN rad(r / 3600) //SCHEINBARER WINKELRADIUS RAD
d1 = FN rad(d / 3600) //WAHRE DISTANZ OBERFLCHENMERKMAL J2000 RAD
pw = FN rad(pw) //MITTL. POSITIONSWINKEL OBERFLÄCHENMERKMAL J2000
dm = FN rad(dm) //SCHEINBARE DEKLINATION MARS. ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
ar = FN rad(ar) //SCHEINBARE REKTASZENSION MARS, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
g(i) = g //GEWICHT = 1
REM REDUKTION DEKLIN., AR MARSNORDPOL, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
REM ZU J2000 (=1.1.2000, 12 UHR TT)
GOSUB reduk
REM ------------------------
sig = ASIN(SIN(d1) / SIN(r) - d1)
bet = ASIN(SIN(sig) * COS(pw))
len = -ATN(TAN(sig) * SIN(pw))
REM ------------------------------
x = COS(bet) * COS(len + PI / 2)
y = COS(bet) * SIN(len + PI / 2)
z = SIN(bet)
x1 = x
y1 = z * SIN(dm) + y * COS(dm)
z1 = z * COS(dm) - y * SIN(dm)
bet1 = ASIN(z1)
x2 = x1 / COS(bet1)
y2 = y1 / COS(bet1)
len1 = FN r(PI * 2 - ATN(x2 / (1 + y2)) * 2 - PI + ar)
a(i) = SIN(len1) * COS(bet1)
b(i) = -COS(len1) * COS(bet1)
c(i) = SIN(bet1)
NEXT i
dat: //DATA-DATEI JD,d,pw,dm,ar,rm,g
DATA 2441133.541667,8.47539,274.79315678,-18.907331,325.299314,0.4890784,1
DATA 2441134.541667,7.79002,278.664812,-18.9354769,325.443224,0.4841689,1
DATA 2441135.541667,6.93233,283.5037679,-18.96747,325.575455,0.47934591,1
DATA 2441136.541667,5.94405,289.988499,-19.00333,325.695897,0.47460925,1
DATA 2441137.541667,4.89382,299.3896966,-19.043054,325.804402,0.46996157,1
DATA 2441138.541667,3.906716,314.078766,-19.0866442,325.900829,0.46540382,1
DATA 2441139.541667,3.2229,337.190737,-19.134095,325.985038,0.460937,1
DATA 2441140.541667,3.17492,6.662145,-19.1853978,326.0568847,0.456563,1
DATA 2441141.541667,3.82712,31.60319,-19.2405345084,326.1162222898,0.45228347,1
DATA 2441142.541667,4.8882,47.776754,-19.299481,326.162905,0.44809909237,1
DATA 2441143.541667,6.094217,58.017223,-19.362202,326.19679,0.444011809,1
DATA 2441144.541667,7.29783,64.96357,-19.42865,326.2177618,0.44002334,1
REM -------------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM BEDINGUNGSGLEICHUNGEN c+a*sin(len1)*cos(bet1)-b*cos(len1)*cos(bet1)=sin(bet1))
REM NORMALGLEICHUNG FšR DREI UNBEKANNTE
REM [p] c + [px] a + [py] b = [pz],1,0,0
REM [px] c + [pxx] a + [pxy] b = [pxz],0,1,0
REM [py] c + [pxy] a + [pyy] b = [pyz],0,0,1
p = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
z = 0
xz = 0
yz = 0
zz = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i) //GEWICHT DER MESSUNG
x = x + a(i) * g(i)
y = y + b(i) * g(i)
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
z = z + c(i) * g(i)
xz = xz + a(i) * c(i) * g(i)
yz = yz + b(i) * c(i) * g(i)
zz = zz + c(i) * c(i) * g(i)
NEXT i
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
REM -------------------------
p(1,1) = p
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = z //1. RESIDUUM
p(1,5) = 1 //2. RESIDUUM
p(1,6) = 0 //3. RESIDUUM
p(1,7) = 0 //4. RESIDUUM
REM ------------
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xz //1. RESIDUUM
p(2,5) = 0 //2. RESIDUUM
p(2,6) = 1 //3. RESIDUUM
p(2,7) = 0 //4. RESIDUUM
REM ------------
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yz //1. RESIDUUM
p(3,5) = 0 //2. RESIDUUM
p(3,6) = 0 //3. RESIDUUM
p(3,7) = 1 //4. RESIDUUM
GOSUB elim
co = ko(1,1) //KOEFFIZIENT c
ao = ko(2,1) //KOEFFIZIENT a
bo = ko(3,1) //KOEFFIZIENT b
i = SQR(ao ^ 2 + bo ^ 2)
y1 = bo / i
x1 = ao / i
k = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
i1 = ATN(i)
dp1 = PI / 2 - i1
ap1 = FN r(k - PI / 2)
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = zz - z * ko(1,1) - xz * ko(2,1) - yz * ko(3,1)
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1 //FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = vv1 + (c(i) - (ko(1,1) + a(i) * ko(2,1) + b(i) * ko(3,1))) ^ 2 * g(i)
NEXT i
REM MITTL. FEHLER KOEFFIZIENTEN a,b,c
s = ABS(vv / (n1 - 3))
mfc = SQR(s * ko(1,2))
mfa = SQR(s * ko(2,3))
mfb = SQR(s * ko(3,4))
s1 = SQR(s)
IF p <> n1 THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
REM OUTPUT ---------------------------------------------;;M
PRINT "NEIGUNGWINKEL i J2000.............: ";ROUND(DEG(i1),4);" GRAD"
PRINT "AUFST. KNOTEN J2000.............: ";ROUND(DEG(k),4);" GRAD"
PRINT "DEKLINATION NORDPOL MARS J2000..: ";ROUND(DEG(dp1),4);" GRAD"
PRINT "REKTASZENSION NORDPOL MARS J2000..: ";ROUND(DEG(ap1),4);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT a.....................: ";ko(2,1)
PRINT "KOEFFIZIENT b.....................: ";ko(3,1)
PRINT "KOEFFIZIENT c.....................: ";ko(1,1)
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT c....: ";mfc
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG.: ";s1
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv1
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv
END
PROCEDURE reduk
to = (jd - 2451545) / 36525
t = (2451545 - jd) / 36525
w1 = RAD(((2306.2181 + 1.39656 * to - 0.000139 * to * to) * t + (0.30188 - 0.000345 * to) * t * t + 0.017998 * t * t * t) / 3600)
w2 =
RAD(((2306.2181 + 1.39656 * to - 0.000139 * to * to) * t + (1.09468 + 0.000066 * to) * t * t + 0.018203 * t * t * t) / 3600)
w3 = RAD(((2004.3109 - 0.8533 * to - 0.000217 * to * to) * t + (-0.42665 - 0.000217 * to) * t * t -
0.041833 * t * t * t) / 3600)
REM ----------------------
dm1 = ASIN(SIN(dm) * COS(w3) + COS(dm) * SIN(w3) * COS(ar + w1))
y = (COS(dm) * SIN(ar + w1)) / COS(dm1)
x = (-SIN(dm) * SIN(w3) + COS(dm) * COS(w3) * COS(ar + w1)) / COS(dm1)
IF x <= -0.999999999999 THEN
ar1 = FN r(PI + w2)
ELSE
ar1 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
ENDIF
dm = dm1 //DEKLINATION MARS J2000
ar = ar1 //AR MARS J2000
RETURN
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum2
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum2:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Vgl. Lage der Marsachse nach radio tracking data of the Viking spacecraft landers.
W.H. Michael et al., >Viking lander location and spin axis of Mars: Determination from
radio tracking data<. Science, 193, 803 1967.
A.P. Mayo et al., >Lander Locations, Mars Physical Ephemeris, and Solar System Parameters: Determination From Viking Lander Tracking Data<. Journal of Geophysical Research,
vol. 82, Nr. 26 (1977), pp. 4297-4303.
Position der Marsachse (III) aus Messungen der beiden MarsmondeDie Polfleck-Methode ist umstritten, da die Position der scharf definierten Lichtpunkte der
Satelliten wesentlich sicherer gemessen werden können.
Der Anschluß von Mondistanzen an den Marsrand beinhaltet jedoch ebenfalls einige Unsicherheiten, wenn der Mikrometerfaden nicht am Marsrand, sondern bei großen Phasenwinkeln am
diffusen Terminator (Grenzlinie der Tag- u. Nachtseite) anliegt; denn berechneter (geometrischer) und beobachteter (wahrer) Terminator können etwas unterschiedlich verlaufen, wenn hohe Wolkenbänke oder dunkle Albedo-Regionen in die
Tagseite hineinreichen.
Wegen der Dichotomie (beobachtete minus berechnete Phase) wird man geometrisch besser mit der gemessenen und nicht mit der berechneten Phase korrigieren.
Der Anschluß am Planetenrand ist zudem vom Zustand der
Marsatmosphäre und verwendeten Optik (Filter) abhängig, deren Mächtigkeit am Rand je nach Entfernung 0.8''-0.1'' ausmacht. Diese Meßtoleranzen sind freilich nur für hochauflösende Großteleskope relevant.
Die Orbitmethode ist dennoch
einer der sichersten und präzisesten Meßmethoden, da der fehleranfällige Umweg über die Messung der jahreszeitlich variablen Polkappe entfällt.
 Foto von Steve Bodin, Mattawa, Washington. “Dies ist ein comopsite zweier exposures: eine kurze
Belichtungszeit für Mars und eine längere, um die schwachen Monde zu erfassen," sagt Bodin, der ein 16-Zoll Fernrohr und eine Farbvideokamera benutzt. Oben rechts des Mars sind zwei Sterne der 12.-Größe sichtbar.
Die Differenz des von Struve durch Vermessung der Trabantenbahn bestimmten Marsnordpols und
dem der IAU 1994 (Struve-IAU), beträgt nur -0.13° in Deklination und +0.20° in Rektaszension (Äquinoktium 1880), während Lowells Achse nach Polfleckvermessung gegenüber dem IAU 1994 Wert fast um 2 Grad in Deklin. abweicht.
Die Marsmonde sind mit 11.3 (Phobos) 12.40 (Deimos) mag sehr lichtschwache Objekte, die der viel hellere Zentralkörper stark überstrahlt (Differenz Helligkeit Mars - Mond etwa 13 Grenklassen). Die
visuelle Beobachtung der Marsmonde ist durch Amateur-Teleskope ab 40 cm (Deimos ab 30 cm) freier Öffnung bei abgedecktem Zentralkröper möglich (siehe >Sterne u. Weltraum< Heft 5/1991, S. 317).
Die Marsmonde zählen beobachtungstechnisch zu den schwierigsten Objekten. Dagegen können die hellen Monde des Jupiter oder Saturn nach gleichem Aansatz problemlos vermessen werden.
Der Amateur, der über Fernrohre mit 40-60 cm Öffung nicht verfügt, kann zu Hilfsmitteln der Phototechnik greifen; denn gegenüber direkter visueller Beobachtung besitzt die Photographie (oder der
CCD-Chip) den großen Vorteil der Lichtsummierung, wodurch auch äußerst lichtschwache mit bloßem Auge unsichtbare Objekte abgebildet werden können.
Mit dem 26 inch Refraktor (66 cm freie Öffnung) des Naval Observatoriums gewinnt man z. B. prof. Aufnahmen des Marssystems durch ein Gelbfilter (Schott GG14) auf Kodak-Emulsion 103aJ bei Belichtungszeiten um 40 Sek.
Bei lediglich 10,15,20 cm freier Öffnung wird die Grenzgre 12-13 mag (ohne Filter und Barlow-Linse) nach etwa 60 Sek. Belichtungszeit erreicht. Der sehr helle Planet berstrahlt beide Monde, die ihren
Zentralkröper sehr eng umbahnen. Die Helligkeit des Zentralkörpers ist daher weitgehend abzuschwächen. Der Marsrand sollte dennoch sehr scharf begrenzt mit abgebildet werden, um die
Monddistanzen am Marsrand bzw. Marsmittelpunkt anschließen zu können.
Gelbfilter entsprechen dem visuellen Kontrasteindruck, Rotfilter zeigen Wolken- u.
Oberflächenstrukturen des Mars deutlicher, während die Atmosphäre im blauen Licht undurchdringlich erscheint. Farbfilter erfordern jedoch oft eine extreme Verlängerung der Belichtungszeit.
Feinkörnige, gringempfindliche Filme erlauben eine etwa 20fache Nachvergrößerung des Negtivs: AGFA-Isopan F (17 DIN), AGFA-ORTHO (15 DIN), KODAK Panatomic-X (16 DIN), KODAK - SO 115.
Die qualitative Abbildung von Oberflächendetails ist im Fall einer Mondbeobachtung unwichtig. Wichtig ist nur der scharf definierte Planetenrand (evtl. durch Farbfilter zu erreichen), der nicht randverdunkelt,
verwaschen, diffus oder durch hineinragende dunkle Albedo-Regionen eingebuchtet erscheinen darf (siehe G. Nemec, >Die Compositvergrößerung und das Ringblendenverfahren bei der
Planetenphotographie<. >Sterne und Weltraum<, Heft 4/1966, S. 94ff).
Der Einfluß des Phasenwinkels ist bei Einschränkung der Beobachtungsszeit auf 10 Tage vor und nach
der Opposition des Mars mit der Sonne zu vernachlässigen, ansonsten nur der von der Phase unbeeinfluße Teil des Marsrandes zum Ausmessen genutzt werden sollte.
Phobos (Umlaufzeit nur 7h39m) bewegt sich pro Minute auf seiner Bahn um 0.7839 Grad (entspricht in größter Erdnähe etwa 0.3''/Min.), Deimos um 0.198 Grad (etwa 0.2''/Min.). Bei einer opt. Auflösung
von 0.9'' und Luftunruhe (seeing) um 1'', ist eine Belichtungszeit um 1-4 Min. möglich. Die momentane Winkelbewegung der Monde in Distanz (d) und Positionswinkel (p) ist Mars (Tabelle des angeklickten Mondes) ersichtlich.
Anfertigung eines Fadenkreuzes. 2 sehr feine Kupferdrähte einer kleinen Relaisspule, 0.02 mm Widerstandsdraht, Quarzfaden oder aus flüssigem Klepstoff (kein Gel) gezogene Fäden eignen sich
ebenfalls (Selbstbauanleitung in >Sterne und Weltraum<, Heft 2/1969, S. 42; s. >Mikrometer-Hersteller< der Specaglobe Website “Sternbeobachtung”).
Konstruktion: Fassung (Pappring o.ä. - Innering etwas größer als die Okularblendenöffnung) auf einen Bogen Papier DIN A 3 legen. Inneren und äußeren Ring der Pappfassung mit Kugelschreibermine auf
dem Papier umfahren. Durch die genaue Mitte der Ringabbildung ein exakt rechtwinkliges Kreuz mit etwa 10-20 cm Achsenlänge zeichnen. Pappfassung und Abbildung exakt zur Deckung bringen und
arretieren. 4 Stecknadeln in 10-20 cm Abstand am Ende der 4 Achsen befestigen. Faden an den gegenüberliegenden Nadeln befestigen und entlang des eingezeichneten Kreuzes spannen. Faden auf der
Pappfassung mit etwas Klebstoff befestigen. Fäden am Rand der Fassung abschneiden und auf die Blende eines orthoskopischen oder Kellnerschen Okulars anbringen.
Die Abdeckung ist auf die Fadenkreuzmitte in etwas kleinerem scheinbaren Marsdurchmesser anzubringen.
Instrumentarium: Spiegelreflexkamera (ohne Kameraobjektiv), handelsbliches Schulfenrohr mit 10-15
cm Öffnung, Fadenkreuzkular mit Lichtdämpfung des Mittelfeldes. Aufnahmetechnik: Okularprojektion (stabile Kameraadapter bzw. -halterungen sind im Handel - evt. bei dem Akutionator www.ebay.de
erhältlich, wo auch preisgünstige Teleskope im Angebot sind).
Okularprojektion. d=Marsdurchmesser auf dem Negativ, w=Abstand Photoschicht - Austrittspupille des
Okulars, f=Okularbrennweite, D=Spiegel- bzw. Objektivdurchm., F=Fernrohrbrennweite, s=Objektdurchmesser im Primärfokus des Fernrohres (mm), x=Distanz des Okularbrennpunktes vom Primärfokus, g=scheinbarer Winkeldurchmesser des Mars.;
Maße d,w,f,F,s,x in Millimeter.
s=F*TAN(g); d=(f/x)*s;
w=(f*(f+x))/x; x=f2/(w-f).
Weitere Beziehungen: f=w*(d/s+1)-1
f=x*(d/s).
In praxi wird man den Abstand w der Photoschicht vom Okularausgang messen. x findet man so aus: x=f2/(w-f).
Mittlere Oppositionsentfernung des Mars 0.5237 AE * 1 AE 149597870 km = 78344404 km.
Beispiel. Marsdurchmesser: ARCTAN(6794.8 km/78344404 km) = g 0.00008672987 rad.
Teleskopbrennweite F=1000 mm (F=3000 mm mit 3x Telekonverter (Barlow-Linse) s 0.26019 mm =
F 3000*TAN(g 0.00008672987). Okularbrennweite f=15 mm; x 1.216216 mm = f 152/(w 200 - f 15).
Bei w=200 mm wird der Marsdurchmesser d=3.209 mm groß abgebildet.
Phobos in 9378 km Abstand in 4.43 mm Abstand und Deimos in 23459 km in 11.08 mm Abstand vom Marsmittelpunkt.
Die effektive Brennweite oder Äquivalentbrennweite des opt. Systems beträgt somit: Fe 37000 mm =
F*(w-f)/f = Fe = F*(d/s). Probe: d 3.209 mm = g*Fe.
Öffnungsverhältnis (ov) der Okularprojektion: ov 1:246.667 =(F*(w-f))/(f*D); bei z. B. D=freie Objektivffnung = 150 mm.
Äquivalentbrennweiten können jedoch zu unzumutbar langen Belichtungzeiten führen, die u.a. Nachführprobleme verursachen. In diesem Fall ist am Haupttubus ein weiteres Nachführ-Teleskop
anzubringen, durch das der auf die Fadenkreuzmitte fixierte helle Mittelpunkt des Polflecks exakt nachzuführen ist. Bei F=1500 mm Brennweite des Teleskops muß die Nachführgenauigkeit unter !3'' (F=2000 mm !
2'') Bogensekunden liegen, andernfalls überschreitet die Abbildungsgröße der Monde die Mindestauflösung des Negativs von 0.02 mm.
Die Flächenhelligkeit des Fokalbildes verringert sich bei doppelter Vergrößerung um 1/4, bei 3facher
Vergrößerung um 1/9 usw. Ist t die Belichtungszeit bei Fokalaufnahmen, gilt bei Projektionsaufnahmen die Faustregel: t1=t*(d/s)2; s=Durchmesser des Brennpunktbildes, d=Durchm. des Projektionsbildes.
Bei d=3.209 mm, s=0.26019 ist die Belichtungszeit (t1) der Projektionsaufnahme etwa 152x länger als bei der Fokalaufnahme. Das optimale Filmmaterial, Filtertypen, die Belichtzungszeit usw. ermittelt man
am besten durch Versuche im Sinne >Trial and Error<.
Eine hochempfindliche Photoemulsion (21 DIN) ist in der Lage ein Raster mit 50 Linien pro Millimeter aufzulösen (1/50 = 0.02 mm);
bzw. 0.0083 mm (=120 Linien/mm) bei 10/13 DIN Empfindlichkeit.
Genäherte Auflösung der Fernrohroptik: d1=0.00056/(D/F); db1=d1*206264.8063/F; d1=Durchmesser
des Beugungscheibchens in Millimeter, F=Primärbrennweite des Objektivs (mm), D=Spiegel- bzw. Objektivöffnung (mm); db1=Durchmesser des Beugungsscheibchens in Bogensekunden; Öffnungsverh„ltnis = D/F.
Scheinbarer Winkeldurchmesser des Mars 17.89'' (Bogensekunden)/3600'' = 0.00496944°*100fache Vergrößerung = 0.496944° (0.49 cm bei auf Armlänge in 57.29578 cm gehaltenen Lineals).
D=110 mm, F=1000 mm; opt. Auflsung des Teleskops db1=1.05'' sind d1=0.0050909 mm (Durchm. Beugungsscheibchen in mm). Auf dem Negativ sind Details der Größe 0.02 mm / 0.0051 = 3.9*1.05 =
4'' erkennbar. Auflsung des Teleskops bei F=3000: db1=1.05'' = d1=0.015 mm. Auflösung des Negativs 0.02 mm = 1.4''.
Luftwallungen wirken vor allem auf Projektionsaufnahmen verheerend. Man sollte daher bei
Hantierungen am Instrument darauf achten, daß besonders zwischen Okular und Filmschicht keine Temperaturunterschiede (Körperwärme o.ä.) bestehen.
Die Korngröße der Photoemulsionen beträgt ewta 0.002-0.003 mm. Bei einer Brennweite von 500 mm entspricht 1'' auf dem 32x24 mm Negativfilm einer Fokalaufnahme: 300/206264.806'' = 0.0024241
mm. Die Größe der Körner liegt somit bei etwa 0.003 mm/0.002424 = 1.2''.Objektiv mit 4000 mm Brennweite: 1'' auf dem Film linear 0.01939 mm. Die Korngröße beträgt 0.003/0.01939 mm = 0.15''.
Unruhige Luft verursacht Ortsschwankungen von 0.5'' bis zu mehreren Bogensekunden. Aufnahmen lohnen sich daher nur bei ausgzeichneter Luftruhe (seeing 0.1''-0.5'' - Durchmesser des
>Zitterscheibchens< eines Sterns nahe Mars unterhalb der Auflösungsgrenze des opt. Systems).
Die Ausmessung der x-,y-Bildschirmkoordinaten von CCD-Aufnahmen erfolgt pixelweise. Etwaigige
geometrische Bildverzerrungen durch Kameraoptik, CCD-Chips, Zwischengeräte o.a. offenbaren Testbildaufnahmen. Das Testbild kann z. B. aus einem rechtwinkligen Koordinatenkreuz (Gitter)
bestehen, wobei über das ganze Aufnahmefeld regelmäig verteilte x-,y-Punkte des Gitters auf 0.01-0.001 mm genau eingemessen werden. Die gemessenen Differenzen originales minus
aufgenommenes Punktraster ergeben die bildgeometr. Fehlerwerte, die eine Fehlerkorrektur der Satellitenpositionenpositionen erlauben.
Die rechtwinkligen Koordinaten der Marsmonde und etwa 20 Randpunkte des von der Phase
unbeeinflußten Teils des Marsumrisses werden an den mit aufgenommenen Achse des Fadenkreuzes gemessen. Für das bloße Auge ist Norden oben u. Westen rechts. Die +y-Achse zeigt sodann nach
Norden (oben), die +x-Achse weist nach Osten (links). Das Bild im umkehrenden Fernrohr ist um 180 Grad gedreht: Norden (+y-Achse) ist unten, Osten (+x-Achse) rechts.
Wichtig! Da der Positionswinkel der Marsmonde ab Nordrichtung der scheinbaren Himmelskugel gemessen wird, ist das Fadenkreuz wie immer äquatorial exakt auszurichten. Die Ausrichtung ist exakt,
wenn ein Stern nahe Mars oder ein Detail der Marsoberfläche den Deklinationsfaden infolge des tägl. Himmelsumschwungs einige Zeit (bei stillstehendem Fernrohr) exakt entlang >läuft<. Der Mittelpunkt
des Fadekreuzes und der scheinbare Marsmittelpunkt müssen nicht unbedingt exakt übereinstimmen.
xs,ys,xm,ym = rechtwinklige Koordinaten des Mondes und des Mars relativ zum Fadenkreuz (Meßachsen).;
x=xs-xm
y=ys-ym
Winkeldistanz Marsmond-Marsmittelpunkt nach rechtwinkl. Koordinaten: s=Å(x*x+y*y).
Positionswinkel am Marsmittelpunkt ab ird. Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn:
x1=x/s
y1=y/s
p=ATN(x1/(1+y1))*2; p<0 +360 Grad oder bei Rechnung in RAD PI*2 RAD addieren.
Aufnahme mit einer am Okularauszug des Teleskops befestigten Spiegelreflexkamera. Die optimale Einstellung der Belichtungszeit und Bildschärfe ermittelt man am besten durch Probeaufnahmen. Die
dünnste Sternspur des Negativs - von allen unter verschiedenen Einstellungen auf unendlich aufgenommenen Strichspuren - definiert die beste Einstellung der Bildschärfe.
Anfang und Ende der Belichtungszeit (UTC oder UT1 siehe Koordinierte Weltzeit UTC unter “Sternbeobachtung”) mglichst präzise auf 0.1 Sek. genau bestimmen (Stoppuhranschluß an ein
Zeitzeichensignal oder an eine DCF77 Funkuhr, Kameraverschluß mit erschütterungfreiem Drahtauslöser).
Die Mitte der Belichtungszeit ist gültiger Beobachtungszeitpunkt. Geographische Koordinaten der Beobachtungsstation s. “Der Saturn”.
Ein sehr nahe Mars befindlicher heller Stern unter Verwendung der Doppelbelichtung (bei stillstehendem Fernrohr) durch die Aufnahme laufen lassen. Die Sternspur und die äquatoriale
Ausrichtung des Fadenkreuzes gewährleisten die exakte äquatoriale Orientierung der (ungeachtet mögl. geometr. Bildfehler) exakt rechtwinkling verlaufenden Meßachsen (nur für eine Fenrohr-Montierung mit
exakt äquatorial ausgerichteten Achsen geeignet - s. Scheiner-Methode in “Sternbeobachtung”).
Die x,y-Koordinaten des Mondes mehrfach hin und zurück messen und den Mittelwert von etwa 5
Messungen bilden. Das Marssystem in mglichst großer Höhe (nicht unter 30 Grad) über dem Horizont aufnehmen, um die differentielle Refraktion auszuschließen (Refraktionsdifferenz in 30 Grad Höhe über
dem Horizont etwa 0.2'' pro Bogenminute Höhendifferenz). Mikrometermessungen auf jeden Fall für Refraktion korrigieren (siehe “Sternbeobachtung”).
Falls kein Mikroskop mit Fadenmikrometer (LEITZ) oder Koordinatenmeapparat (astronom. Institute) zur Verfügung stehen, behilft man sich wieder mit dem Pojektionsverfahren. Der Vergrößerungsfaktor
des an die Wand projizierten Negativs ermittelt man durch Division des Negativformats durch das projizierte Format, oder durch den berechneten Marsdurchmesser in Millimeter auf dem Negativ durch
den projizierten (10x Messlupe u. digitaler Messschieber mit 0.01 mm Auflösung verwenden.
Die opt. Achse des Diaprojektors sollte exakt rechtwinklig zur Projektionsebene verlaufen (evl. planen
Spiegel an die Projektionswand anlegen, der den durch eine Lochblende projizierten Lichtpunkt auf den Ausgangspunkt zurckwirft). Genau festgestellte Vergörerung der Projektion 50fach: 0.1 mm der
Projektion entsprechen /50 = 0.002 mm des Negativs (feinkörniges Filmmaterial erlauben hohe
Negativ-Vergrößerungen).
Das Digital-Micrometer von Conrad-Elektronic mit einem Mebereich von 0-25 mm und einer
Auflösung von 0.001 mm, kann unter einem Mikroskop zur Feinbewegung (in Richtung x oder y) eines bei handwerklichen Gechick selbst hergestellten Präzisionsmeßschlittens dienen. Das Mikroskopokular
ist lediglich mit einem Fadenkreuz zu versehen, um Negative auf 0.001 mm genau ausmessen zu können.
Marsmittelpunkt.
Um die xm-,ym-Koordinate des Marsmittelpunktes zu erhalten sind etwa 20 Punkte des vom
Phasenwinkel unbeinflußten Teils des Marsumfangs zu vermessen. Der Phasenwinkel tritt etwa 10 Tage vor und 10 Tag nach der Opposition nicht in Erscheinung, so daß der gesamte Marsumfang
gemessen werden kann. Der Verlauf des Phasenwinkels ist an der Marsabbildung ersichtlich.
Ausmessung des östl. Halbkreises des Marsumrisses.
Kreisgleichung (x-a)2+(y-b)2 = r2
; x,y=rechtwinklige Koordinaten der Marsmitte ab Koordinatenkreuz, r=Marsradius.
x2;+y2-2xa+a2-2yb+b2-r2 = 0.;
x2+y2+a*x+b*y+c = 0.
a x(n) + b y(n) + c = x(n)2+y(n)2; 1,2,3...,n.
Die Koeffizienten a,b,c ergeben sich durch die Methode der kleinsten Quadrate.
Normalgleichung:
n1 c + [x] a + [y] + b = [X]
[x] c + [xx] a + [xy] + b = [xX]
[y] c + [xy] a + [yy] + b = [yX]
REM BEISPIEL. xm-,ym-KOORDINATE DES MARSDMITTELPUNKTES
DIM p(10,10),ko(10,10),x(130),y(130),r(130)
REM WERTPAARE RANDPUNKTE DES MARSUMFANGS
n1 = 12 //EINTRAG ANZAHL GEMESSENER WERTPAARE
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
READ x,y
x(i) = x
y(i) = y
r(i) = x ^ 2 + y ^ 2
NEXT i
dat: //GEMESSENENE x,y WERTPAARE MARSUMFANG
DATA
-32.5,33.5,-26.3,32,-20.8,29,-16,24.5,-12.5,19,-11.3,13.5,-11,7.5,-12,2.7,-14.2,-2.3,-18,-7.5,-23.5,-11 .5,-28,-14
REM ----------------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM AKKUMULATION
rr = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
r = 0
xr = 0
yr = 0
FOR i = 1 TO n1
x = x + x(i)
y = y + y(i)
xx = xx + x(i) * x(i)
xy = xy + x(i) * y(i)
yy = yy + y(i) * y(i)
r = r + r(i)
rr = rr + r(i) * r(i)
xr = xr + r(i) * x(i)
yr = yr + r(i) * y(i)
NEXT i
REM ---------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = r //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(1,7) = 0 //4. RESIDUENVEKTOR
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xr //1. RESIDUENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1 //3. RESIDUENVEKTOR
p(2,7) = 0 //4. RESIDUENVEKTOR
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yr //1. RESIDUENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(3,7) = 1 //4. RESIDUENVEKTOR
REM --------------------
GOSUB elim
REM -----------------------------------
vv = rr - r * ko(1,1) - xr * ko(2,1) - yr * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRAT BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv1 = vv1 + (r(i) - (ko(1,1) + x(i) * ko(2,1) + y(i) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 3))
s1 = SQR(s)
mfx = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
mfy = SQR(ABS(s * ko(3,4)))
r = SQR(ABS(ko(1,1) + ((ko(2,1) / 2) ^ 2 + (ko(3,1) / 2) ^ 2))) //RADIUS
REM --------------------------------
PRINT "MARSMITTELPUNKT:"
PRINT "ANZAHL MESSUNGEN: ";n1
PRINT "MITTELPUNKT xm: ";ko(2,1) / 2;" mm"
PRINT "MITTELPUNKT ym: ";ko(3,1) / 2;" mm"
PRINT "MARSRADIUS.....rm: ";r;" mm"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTL. FEHLER xm..: ";mfx;" mm"
PRINT "MITTL. FEHLER ym..: ";mfy;" mm"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";vv1
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum2
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum2:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Meßergebnis: Marsmittelpunkt xm -35.148 ± 0.395 mm, ym +9.513 ± 0.168 mm, Marsradius 24.227 mm. Mond: xs +18.5±
0.1 mm, ys 27.0 ± 0.2 mm.
x 53.648 mm = +18.5 xs -(-35.148 xm)
y 17.487 mm = 27.0 xs -9.513 ym (x,y=rechtwinkl. Koordinaten des Mondes in bezug auf den Marsmittelpunkt).
Distanz des Monde vom Marsmittelpunkt: d 56.426 mm = Å
(x2+y2).
Positionswinkel des Mondes am Marsmittelpunkt ab ird. Nord:
x1=x/d
y1=y/d
p 71.9462 Grad = ATN(x1/(1+y1))*2 (p,d = Polarkoordinaten des Mondes in bezug auf den Marsmittelpunkt).
Die rechtwinkligen kartesischen Koordinaten (x,y) werden in praxi am Meßtisch auf 0.001 mm genau gemessen.
Die mit 2x oder 3x Telekonverter (Barlow-Linse) verlängerte Primärbrennweite F des Teleksops, sollte genau festgestellt werden.
Der Brennpunkt oder Aabstand des vom Objektiv entworfenen Bildes von der Linse ist bei Refraktoren
leicht zu messen.
Meßmethode: F=(13713.44117733*k)/(t*cos(dek)); F=Brennweite des opt. Systems. k=Länge einer Teilung in Millimeter, t=gestoppte Zeitsekunden, dek=Deklination des Anhaltsterns.
Beispiel. k=Länge der Teilung des Okular-Mikrometerplättchens z. B. 10 mm, Stern dek=23.561 Grad. Stern >läuft< 10 mm in t=149.61 Sek = Brennweite F 999.98 mm.
Die Position der Planetenachse aus der Bahnlage der Monde, ist natürlich erst nach Ableitung der Bahnelemente der Satelliten aus den Beobachtungen ermittelbar.
Workshop Bahnelemente der Monde
Die Umlaufperiode der Monde (U_sid von Stern zu Stern) wird analog der Rotationszeit des Mars ermittelt (die Phasenkorrektion entfällt).;
Statt eines Oberflächenmerkmals nimmt man die Passage des Mondes über den Faden des exakt
Nord-Süd (Rektaszensionsfaden) oder Ost-West (Deklinationsfaden) ausgerichteten Fadenkreuzes (Lichtzeit 0.005775518*<
und Polwinkel K des Planeten (U_sid/360)*K subtrahieren).
Tägliche Bewegung des Mondes in Gradmaß: l
=360/U_sid, in RAD: l =(PI*2)/U_sid.
Da anfangs nur die synodische Umlaufzeit U_syn (von Fadendurchgang zu Fadendurchgang) bekannt ist, nähert man sich U_sid schrittweise (s >Bestimmung der Rotationszeit des Mars<). (Vgl.
>Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac< edited by Kenneth Seidelman, U.S. Naval Observatory, Washington D.C.).
Das Resultat U_sid, die mittlere siderische (auf einen Stern bezogene) Umlaufzeit des Mondes, findet allerdings nur auf der Grundlage einer festen Epoche (Äquinoktium J2000) Anwendung.
Bezieht man die Umlaufzeit auf das Frühlingsäquinoktium (=Ariespunkt = Schnittpunkt der Ekliptik auf dem Erdäquator = Koordinatennullpunkt), ergibt sich die mittl. tropische Umlaufzeit (U_trop), Äquinoktium des Datums.
Das Frühlingsäquinoktium bewegt sich infolge der Präzession pro Tag um l
0.000038247 Grad nach Westen. Die tägl. sid. Umlaufzeit ist um diesen Betrag zu vergrößen, um die tägl. tropische (von Frühlingspunkt zu Frühlingspunkt) Umlaufzeit zu erhalten.
Statt U_syn um den Polwinkel (U_sid/360)*K zu korrigieren, kann die geozentrische Längenänderung in Rektaszension (ard) des Mars zur beobachteten synodischen Umlaufzeit des Mondes (U_syn) addiert
werden [U_sid=U_syn+(U_syn*ard)/360], um die siderische Umlaufzeit (U_sid) zu erhalten.
Beobachtete Fadenüberquerung eines Mondes zum julian Datum (>JD< s. “Sternbeobachtung”) JD1 u. JD2; ard=AR2 JD2 - AR1 JD! (AR=Rektaszension).
Mittl. tägl. trop Bewegung (my): l_sid Phobos 1128.84406°
Mittl. tägl. trop Bewegung (my):
l_sid Deimos 285.16196°
Umlaufzeit 360°/1128.84406° = 0.318910301924 Tage.
Mittl. Umlaufzeit Phobos: U_trop 7h39m13.85s.
Mittl. Umlaufzeit Deimos: U_trop 30h17m54.86s.
Differentielle Lichtzeit. Mittl. Entfernung Phobos und Deimos vom Marszentrum: 9379 km u. 23461
km. Lichtgeschwindigkeit 299792.458 km. Lichtzeitdifferenz 9379 km in ± 0.03 Sek. u. 23461 km in ±0.07 Sek. Die genaue Entfernung der Monde vom Beobacher kann vernachlässigt werden, da für die Lichtzeitkorrektur die Entfernung (<=rm in AE) des Marsmittelpunkts vom Beobachter ausreicht.
Lage der auf den Erdäquator bezogenen Mondbahn. Der meisten Monde weichen nur geringfügig von einer Kreisbahn ab. In erster Näherung wird man daher Kreisbahnelemente ableiten. Die Anpassung an
die wahre mit der Beobachtung möglichst gut übereinstimmenden Bahnlage erfolgt hauptsächlich im Bahnverbesserungsverfahren durch die Methode der kleinsten Quadrate, wenn gemessene Distanzen
(d) und Positionswinkel (p) des Satelliten en masse vorliegen.
Ableitung der 4 Kreisbahnelemente J,N,u,a aus zwei Beobachtungszeiten.
J=Neigungswinkel der Mondbahnebene gegen die Erdäquatorebene, wahres Äquinoltium des Datums,
N=Rektaszension des aufsteigenden Knotens (Schnittpunkt) der Mondbahnene mit der Erdäquatorbene ab Frühlingspunkt (Aries-Point), wahres Äquinoktium des Datums; u=Argument der Breite = Länge des
Mondes auf seiner Bahn ab aufst. Knoten N gemessen, wahres Äquinoktium des Datums, a=Radius der Kreisbahn bzw. großen halben Bahnachse der Mondbahn in astronom. Einheiten (AE).
d=gemessene Distanz des Mondes vom Marsmittelpunkt in Bogensekunden, p=gemessener Positionswinkel ab ird.
Nordrichtung, dm,ar, < (=rm)=scheinbare Deklination, Rektaszension und Entfernung (in astronom. Einheiten: 1 AE =
149597870 km) des Mars zum Messungszeitpunkt, wahres Äquinoktium des Datums, JD=Julian. Datum der Messung.
Die scheinbare Deklin. u. Rektaszension sind die direkt messbaren Koordinaten, wie sie dem
Beobachter wirklich an der Sphäre erscheinen. Die Refraktion in Deklin. u. AR der Marsposition ist vernachlässigt, da nur die differentielle Refraktion zu berücksichtigten ist, die jedoch bei kleinen
Winkelmessungen kaum in Erscheinung tritt.
1. Positionsmessung des Satelliten zum Zeitpunkt JD1,d1_rad,p1,ar1,dm1, <1.
2. Positionsmessung des Satelliten zum Zeitpunkt JD2,d2_rad,p2,ar2,dm2, <2.
Bogensekunden in RAD: d1_rad = d1 (Bogensekunden) / (57.29577951308*3600).
Große Bahnhalbachse a und planetozentrischer Winkel r
.
arcsin(r1 - d1_rad) = (<1/a)*sin(d1_rad)
arcsin(r2 - d2_rad) = (<2/a)*sin(d2_rad)
arcsin r1=(<
1/a)*SIN(d1_rad)+d1_rad
a=(<1*sin(d1_rad))/(sin(r1-d1_rad)
r
(sig) = planetozentrischer Winkel der großen Halbachse des Satelliten mit der über den Planeten hinaus verlängerten Verbindungslinie Erde-Planet. Der Winkel r liegt zwischen 0 und 180 Grad, wodurch r
im I. (0-90 Grad) oder II. (90-180 Grad) Quadranten liegen kann.
Bei rechtläufiger (direkter) positiver Bewegung (von Norden gesehen entgegen dem Uhrzeigersinn) des
Satelliten (Bahnneigung gegen die Planetenäquatorebene <90 Grad), wird r auf der Ostseite des
Planeten vom I. in den II. Quadranten und auf der Westseite vom II. in den I. Quadranten wechseln (bei rückläugiger Bewegung [retrograde Bahnneigung >90 Grad] umgekehrt).
dt=JD2-JD1sei die Zwischenzeit zweier Beobachtungzeiten, dl die Bahnbewegung des Mondes der Zwischenzeit dt: dl=l*dt;
l= mittl. tägl. Banbewegung des Mondes. Geozentrische Längenänderung in Rektaszension (ard) des Mars.
In dem Dreieck mit den drei Seiten Pol Satelltenbahnebene, Satellitenort zur Beobachtungszeit JD1 (z1-d1_rad) zum Satellitendort zur Beobachtungszeit JD2 (dl) zum Pol Bahnebene (z2-d2_rad), w=Winkel am Bahnpol, erhält man die Beziehung:
dl=cos(z1-d1_rad) cos(z2-d2_rad1) + sin(z1-d1_rad) sin(z2-d2_rad) cos(w); w=Winkel am Pol der Satellitenbahnebene.
Die Winkel z1,z2 und w ergibt sich aus der Gleichung:
x=sin(ard) sin(0.5 (s1-s2))=cos(0.5 (ar2-ar1)) sin(0.5 (dm1-d2))
y=sin(ard) cos(0.5 (s1-s2))=sin(0.5 (ar2-ar1)) cos(0.5 (dm1+d2))
l1=SQR(x x+y y) //l1=sin(ard)
x1=x/l1
y1=y/l1
v=ATN(x1/(1+y1))*2 //v=0.5 (s1-s2)
x=cos(ard) sin(0.5 (s1+s2))=cos(0.5 (ar2-ar1)) cos(0.5 (dm1-d2))
y=cos(ard) cos(0.5 (s1+s2))=sin(0.5 (ar2-ar1)) sin(0.5 (dm1+d2))
l2=SQR(x x+y y) //l2=cos(ard)
x1=x/l2
y1=y/l2
v1=ATN(y1/(1+x1))*2 //v1=0.5 (s1+s2)
y=sin(0.5 w) sin(0.5 (z2+z1))=sin(ard) cos(0.5 (s1-s2)-0.5 (p2+p1))
x=sin(0.5 w) cos(0.5 (z2+z1))=cos(ard) cos(0.5 (s1+s2)+0.5 (p2-p1))
w=SQR(x x+y y)
y1=y/w
x1=x/w
ze1=ATN(y1/(1+x1))*4 //z2+z1
w=ASIN(w)*2
y=cos(0.5 w) sin(0.5 (z2-z1))=sin(ard) sin(0.5 (s1-s2)-0.5 (p2+p1))
x=cos(0.5 w) cos(0.5 (z2-z1))=cos(ard) sin(0.5 (s1+s2)+0.5 (p2-p1))
w=SQR(x x+y y)
y1=y/w
x1=x/w
ze2=ATN(y1/(1+x1))*4 //z2-z1
w=ACOS(w)*2
z2=(ze1+ze2)/2
z1=ze1-z2
REM INTERPOLATION KREISBAHNRADIUS a=dlo UND PLANETOZENTRISCHER WINKEL r1=sig1,
r2=sig2.
REM REGULA FALSI
REM BEDINGUNG yo<dl<y1
REM BEDINGUNG x1<a<xo
yop=dl
xo=0.001
sig1=ASIN((del1/xo)*SIN(d1))+d1
sig2=ASIN((del2/xo)*SIN(d2))+d2
yo=ACOS(COS(z1-sig1)*COS(z2-sig2)+SIN(z1-sig1)*SIN(z2-sig2)*COS(l4))
x1=0.000062
sig1=ASIN((del1/x1)*SIN(d1))+d1
sig2=ASIN((del2/x1)*SIN(d2))+d2
y1=ACOS(COS(z1-sig1)*COS(z2-sig2)+SIN(z1-sig1)*SIN(z2-sig2)*COS(l4))
REPEAT //ITERATION
x3=x2
x2=x1-(y1-yop)*((x1-xo)/(y1-yo))
sig1=ASIN((del1/x2)*SIN(d1))+d1
sig2=ASIN((del2/x2)*SIN(d2))+d2
dlo=ACOS(COS(z1-sig1)*COS(z2-sig2)+SIN(z1-sig1)*SIN(z2-sig2)*COS(l4))
yn=dlo
IF yop-yn>0 THEN
xo=x2
yo=yn
ELSE
x1=x2
y1=yn
ENDIF
UNTIL ABS(x2-x3)<1.0E-16
Bahnelemente J,N,u.
D1,A1=planetozentrische Deklination und Rektaszension des Satelliten zur Beobachtungszeit JD1. ar,dm=scheinbare Rektaszension und Deklination des Mars zum Zeitpunkt der Messung, wahres Äquinoktium des Datums.
arcsin D1=cos(r1) sin(dm1)+sin(r
1) cos(dm1) cos(p1)
y=sin(A1-ar1) = (sin(p1) sin(r1))/cos(D1)
x=cos(A1-ar1) = (cos(r1) cos(dm1)-sin(r
1) sin(dm1) cos(p1))/cos(D1)
A1=ARCTAN(y/(1+x))*2+ar1
D2,A2=planetozentrische Deklination und Rektaszension des Satelliten zur Beobachtungszeit JD2.
arcsin D2=cos(r
2) sin(dm1)+sin(r2) cos(dm2) cos(p2)
y=sin(A2-ar2) = (sin(p2) sin(r2))/cos(D2)
x=cos(A2-ar2) = (cos(r
2) cos(dm2)-sin(r2) sin(dm2) cos(p2))/cos(D2)
A2=ARCTAN(y/(1+x))*2+ar2
arctan J=sin(A1-N) = tan D1
arctan J=sin(A2-N) = tan D2
x=tan J cos (A1-N) = (tan(D2)-tan(D1)*cos(A2-A1))/sin(A2-A1)
y=tan J sin (A1-N) = tan(D1)
J= Å(x2+y2)
x1=x/i
y1=y/i
N=ARCTAN(y1/(1+x1))*2+A1
J=ARCTAN(J)
arctan u1 = tan(A1-N)/COS(J)
i=FN r(a1-N)
REM INTERVALL 0<=u1<=PI*2
IF i>PI/2 AND i<=PI*1.5 THEN
u1=u1+PI
ENDIF
IF i>PI*1.5 AND i<PI*2 THEN
u1=u1+PI*2
arctan u2 = tan(A2-N)/COS(J)
REM INTERVALL 0<=u2<=PI*2
i=FN r(a2-N)
IF i>PI/2 AND i<=PI*1.5 THEN
u2=u2+PI
ENDIF
IF i>PI*1.5 AND i<PI*2 THEN
u2=u2+PI*2
Kontrolle: u2-u1=dl=l *(JD2-JD1)
Numerisches Beispiel. .
1. Beobachtung am 10.1.1967, 21h TT = JD1 2439501.375, d1=9.0226'', p1=116.1389°, ar1=197.948531°, dm1=-5.292465°, del1=1.31989 AE.
2. Beobachtung am 10.1.1967, 21h10m TT = JD2 2439501.381944, d2=9.4142'', p2=119.5093°, ar1=197.951356°, dm1=-5.29354°, del1=1.319822 AE.
REM GFA- ODER OMIKRON BASIC-PROGR FÜR DEN COMPUTER ATARI (leicht in andere
Programmiersprachen zu adaptieren
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)
jd1 = 9500.5 + 21 / 24
d1 = RAD(9.0226 / 3600)
p1 = RAD(116.1392)
ar1 = RAD(197.948531)
dm1 = RAD(-5.292465)
del1 = 1.31989
REM ------------
jd2 = 9500.5 + (21 + 10 / 60) / 24
d2 = RAD(9.4142 / 3600)
p2 = RAD(119.5093)
ar2 = RAD(197.951346)
dm2 = RAD(-5.29354)
del2 = 1.319822
REM -----------------
x1 = COS(0.5 * (ar2 - ar1)) * SIN(0.5 * (dm1 - dm2))
x2 = SIN(0.5 * (ar2 - ar1)) * COS(0.5 * (dm1 + dm2))
l1 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l1
y2 = x2 / l1
w = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4
l1 = ASIN(l1)
x1 = COS(0.5 * (ar2 - ar1)) * COS(0.5 * (dm1 - dm2))
x2 = SIN(0.5 * (ar2 - ar1)) * SIN(0.5 * (dm1 + dm2))
l2 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l2
y2 = x2 / l2
l2 = ACOS(l2)
w1 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4
REM -----------
x1 = SIN(l1) * COS(0.5 * w - 0.5 * (p2 + p1))
x2 = COS(l2) * COS(0.5 * w1 + 0.5 * (p2 - p1))
l3 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l3
y2 = x2 / l3
ze1 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4 //z2+z1
l3 = ASIN(l3) * 2
x1 = SIN(l1) * SIN(0.5 * w - 0.5 * (p2 + p1))
x2 = COS(l2) * SIN(0.5 * w1 + 0.5 * (p2 - p1))
w = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / w
y2 = x2 / w
ze2 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4 //z2-z1
w = ACOS(w) * 2
REM --------------------------
z2 = (ze1 + ze2) / 2 //z2
z1 = FN r(ze1 - z2) //z1
REM ---------
my = RAD(1128.8445566) //my=MITT. TGL. SID. BEWEGUNG MARSMOND PHOBOS.
dl = my * (jd2 - jd1) //MONDBEWEGUNG IN DER ZWISCHENZEIT JD2-JD1
REM ------
REM BESTIMMUNG DES KREISBAHNRADIUS a,sig1,sig2 IN AE
REM INTERPOLATION REGULA FALSI
REM BEDINGUNG yo<dl<y1
REM BEDINGUNG xo>a>x1
yop = dl
xo = 1
sig1 = ASIN((del1 / xo) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / xo) * SIN(d2)) + d2
yo = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
x1 = 0.000062 //EINTRAG a>x1
sig1 = ASIN((del1 / x1) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / x1) * SIN(d2)) + d2
y1 = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
REM -------------------------
REPEAT //SCHLEIFE
x3 = x2
x2 = x1 - (y1 - yop) * ((x1 - xo) / (y1 - yo))
sig1 = ASIN((del1 / x2) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / x2) * SIN(d2)) + d2
yn = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
PRINT "a: ";x2,yn,yop
IF yop - yn > 0 THEN
xo = x2
yo = yn
ELSE
x1 = x2
y1 = yn
ENDIF
UNTIL ABS(x2 - x3) < 1.0E-16 //SCHLEIFE BEDINGUNG x2-x3<1E-16
REM SIG1 UND SIG2
PRINT
PRINT "SIG1: ";FN deg(sig1);" GRAD"
PRINT "SIG2: ";FN deg(sig2);" GRAD"
REM GROSSE HALBE BAHNACHSE KREISBAHN a
a = x2 //a IN ASTRONOMISCHEN EINHEITEN AE (1 AE = 149597870.66 km).
PRINT "a: ";a;" AE"
PRINT "a: ";a * 149597870;" km"
REM ------------------------
s1 = ASIN(COS(sig1) * SIN(dm1) + SIN(sig1) * COS(dm1) * COS(p1))
y = (SIN(p1) * SIN(sig1)) / COS(s1)
x = (COS(sig1) * COS(dm1) - SIN(sig1) * SIN(dm1) * COS(p1)) / COS(s1)
a1 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + ar1)
REM ----------------
s2 = ASIN(COS(sig2) * SIN(dm2) + SIN(sig2) * COS(dm2) * COS(p2))
y = (SIN(p2) * SIN(sig2)) / COS(s2)
x = (COS(sig2) * COS(dm2) - SIN(sig2) * SIN(dm2) * COS(p2)) / COS(s2)
a2 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + ar2)
REM ---------------
x = (TAN(s2) - TAN(s1) * COS(a2 - a1)) / SIN(a2 - a1)
y = TAN(s1)
j = SQR(x * x + y * y)
x = x / j
y = y / j
n = FN r(a1 - ATN(y / (1 + x)) * 2) //REKTASZENSION AUFST. KNOTEN N
j = ATN(j) //NEIGUNGSWINKEL MONDEBENE GEGEN DIE ERDBAHNEBENE J
PRINT "J: ";FN deg(j);" GRAD"
PRINT "N: ";FN deg(n);" GRAD"
REM ----------------------------
u1 = ATN(TAN(a1 - n) / COS(j))
i = FN r(a1 - n)
REM INTERVALL 0<=u1<=Pi*2
IF i > PI / 2 AND i <= PI * 1.5 THEN
u1 = u1 + PI
ENDIF
IF i > PI * 1.5 AND i < PI * 2 THEN
u1 = u1 + PI * 2
ENDIF
u2 = ATN(TAN(a2 - n) / COS(j))
i = FN r(a2 - n)
REM INTERVALL 0<=u2<=Pi*2
IF i > PI / 2 AND i <= PI * 1.5 THEN
u2 = u2 + PI
ENDIF
IF i > PI * 1.5 AND i < PI * 2 THEN
u2 = u2 + PI * 2
ENDIF
REM -----------------------------------
PRINT "BAHNLÄNGE EPOCHE u1 JD1: ";FN deg(u1)
PRINT "BAHNLÄNGE EPOCHE u2 JD2: ";FN deg(u2)
PRINT
PRINT "KONTROLLE: ";FN deg(u2 - u1),FN deg(dl)
Resultat: JD1 243501.735 TT, sig1=67.706°, u1=224.692°, JD2 2439501.381944 TT, sig2=74.864°, u2=232.531°.
J=38.82°, N=48.055°. a=0.00006240397 AE mal 149597870 km (1 AE) = a=9335.50 km.
Die auf das Äquinoktium bezogenen Daten J,N,u1,u2 beziehen sich auf das wahre Äquinoktium (= Aries-Point = Nullpunkt der ird. Koordinatenzählung) des Datums.
Lichtzeitkorrektur.
Die zuvor erhaltene Länge in der Bahn (u), gemessen ab aufst. Knoten N, gilt natürlich wegen der Beobachtungsstation auf der Erde für den Zeitpunkt des an der Station eintreffenden Lichts. Die Länge
in der Bahn (u) ist daher um die Lichtzeit zu vergrößern, um die Bahnverhältnisse im Marssystem für den Zeitpunkt der Lichtemittierung zu erhalten.
Das Licht durcheilt z. B. die Strecke von 1 AE in 149597870.66 km / 299792.458 km = 499.004784 Sek. / 86400 Sek. = 0.005775518 Tage.
l (my) =mittl. tägl. sid. Bewegung des Satelliten. Beobachtungsbeispiel Phobos my=1128.8445566 Grad (tägl. sid. Bewegung des Phobos nach A.T. Sinclair, 1989).
u1 233.297° = u1 224.685183° + 1128.8445566° * 0.005775518 Tage * del1 1.31989 AE.
u2 241.1358° = u2 232.52438° + 1128.8445566° * 0.005775518 Tage * del2 1.319822 AE.
Bahnverbesserungsverfahren für Kreisbahnelemente.
Die aus ersten Beobachtungen ermittelten Kreisbahnelemente J,N,a,u werden durch die Methode der kleinsten Quadrate im Sinne beobachtete minus berechnete Position verbessert, wenn zahlreich
gemessene Distanzen (d) und Positionswinkel (p) vorliegen.
Berechnete Distanz (dr) und Positionswinkel (pr).
B=planetozentrische (=auf das Marszentrum bezogene) Breite der Erde über der Satellitenbahnebene,
U=geozentrische Länge des scheinbaren Marsmittelpunktes auf der Satellitenbahnebene, gezählt ab dem aufst. Knoten (N) der Satellitenbahn mit dem Erdäquator, P=Positionswinkel des Bahnpols der
Satellitenbahnebene ab der ird. Nordpolrichtung =identisch mit dem Positionswinkel der von der Erde sichtbaren halben kleinen Bahnachse der scheinbaren Bahnellipse. dm,ar,rm=Mars scheinbare Deklination, Rektaszension und Entfernung.
B=ARCSIN(sin(J) COS(dm) sin(ar-N) - cos(J) sin(dm))
y=(cos(j) cos(dm) sin(ar-N) + sin(J) sin(dm))/cos(B)
x=(cos(dm) cos(ar-N))/cos(B)
U=ARCTAN(y/(1+x))*2
y=(-sin(J) cos(ar-N))/cos(B)
x=(sin(j) sin(dm) sin(ar-N) + cos(J) cos(dm))/cos(B)
P=ARCTAN(y/(1+x))*2
sig=arccos(cos(B)*cos(u-U)).
x=SIN(u-U)/SIN(sig)
y=(SIN(B)*COS(u-U))/SIN(sig)
pr=FN r(ATN(x/(1+y))*2 + P) //BERECHNETER POSITIONSWINKEL pr rad
dr=ak/(rm*149597870*(1/206264.8))*SIN(sig) //BERECHNETE DISTANZ dr'' in Bogensekunden
r=Entfernung des Satelliten vom Planetenzentrum in astronom. Einheiten AE (bei einer KREISBAHN r=a = ak in diesem Fall in Kilometer), < = rm = geozentr. Entfernung Mars in AE.
Argument der Breite. Länge in der Bahn >u< durch direkte Beobachtung oder genähert- beispielsweise Epoche JD 2439501.375: u = u 233.297° + mittl. tägl. trop. Bewegung Phobos 1128.8445948° *
((JD-2439501.375)-0.005775518*rm); rm=Entfernung Erde-Mars in AE.
y=((r/< sin(u-U))/ (1+(r/<) cos(B) sin(u-U))
x=((r</ cos(u-U))/(1+(r</) cos(B) cos(u-U))
d=Å(x2+y2)
x=x/d
y=y/d
pr=(ARCTAN(y/(1+x))*2 + P)*57.2957795 GRAD
dr''=ARCTAN(d)*206264.806''
sig =
r = planetozentrischer Winkel der großen Halbachse des Satelliten mit der über den Planeten
hinaus verlängerten Verbindungslinie Erde-Planet in RAD.
dp=beobachteter minus berechneter Positionswinkel (Grad) des Satelliten (dp=p-pr), dd=beobachtete
minus berechnete Distanz des Satelliten (dd''=d''-dr''); d in RAD, d'' in Bogensekunden.
Bedingungsgleichung der differentiellen äquat. Polarkoordinaten dp,dd für die Unbekannten du, e*sin(o), e*cos(o
), dJ, dN (in Bogensekunden).
Große Bahnhalbachse a AE auf die Einheitsentfernung von 1 AE in Bogensekunden normiert: a''=a AE * 206264.806''. In jeweiliger Entfernung des Mars: a1''=a''/<; a km=a AE * 149597870.66 km. a normiert auf die mittlerer Entfernung des Mars von der Sonne 1.523679 AE: a2''=((a km
/149597870.66)*206264.806'')*1.523679.
Zeilen- und spaltenweise Dimensionierung der hier explizit angeführten Matrix.
i=((a''/206264.806'')/<)*(sin(sig-d)/sin(sig));
k=sin(B)/sin(sig)
v=cos(sig-d)/sin(sig)
Bedigungsgeleichung Differential:
sin(d)*dp=i*k*du-2*i*k*cos(u)*e*sin(o)+2*i*k*sin(u)*e*cos(o
)-i*(COS(B)/sin(sig))*sin(u-U)*sin(u)* dJ+(i/sin(sig))*(cos(sig)*sin(u)*sin(j)-sin(dm))*dN.
Normalgleichung für sin(d)*dp und 5 Unbekannte. Parameter. 1,2,3,...,n Messungen.
a(n)=i*k
b(n)=-2*i*k*cos(u)*206264.806
c(n)=2*i*k*sin(u)*206264.806
d(n)=-i*(cos(B)/sin(sig))*sin(u)-U))*sin(u)
e(n)=(i/sin(sig))*(cos(sig)*sin(u)*sin(J)-sin(dm))
f(n)=sin(d)*dp //BEOBACHTETER MINUS BERECHNETER POSITIONSWINKEL (dp=B-R) MAL SINUS DISTANZ
Akkumulation:
[paa] = S p(n)*a(n)*a(n)
[pba] = S
p(n)*a(n)*b(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pea] = S p(n)*a(n)*e(n)
[pba] = S p(n)*a(n)*b(n)
[pbb] = S p(n)*b(n)*b(n)
[pcb] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pdb] = S p(n)*d(n)*b(n)
[peb] = S p(n)*e(n)*b(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pcb] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pcc] = S p(n)*c(n)*c(n)
[pdc] = S p(n)*d(n)*c(n)
[pec] = S p(n)*e(n)*c(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pdb] = S
p(n)*b(n)*d(n)
[pdc] = S
p(n)*c(n)*d(n)
[pdd] = S p(n)*d(n)*d(n)
[ped] = S p(n)*d(n)*e(n)
[pae] = S p(n)*a(n)*e(n)
[peb] = S p(n)*b(n)*e(n)
[pec] = S p(n)*c(n)*e(n)
[ped] = S
p(n)*d(n)*e(n)
[pee] = S
p(n)*e(n)*e(n)
[paf] = S p(n)*a(n)*f(n)
[pbf] = S p(n)*b(n)*f(n)
[pcf] = S p(n)*c(n)*f(n)
[pdf] = S p(n)*d(n)*f(n)
[pef] = S p(n)*e(n)*f(n)
Normalgleichung. X=sin(d)*dp. dws=e*sin(o), dwc=e*cos(o
). p=Gewicht der Messung
[paa] du+[pba] dws+[pca] dwc+[pda] dJ+[pae] dN = [paf],1,0,0,0,0
[pba] du+[pbb] dws+[pcb] dwc+[pdb] dJ+[peb] dN = [pbf],0,1,0,0,0
[pca] du+[pcb] dws+[pcc] dwc+[pdc] dJ+[pec] dN = [pcf],0,0,1,0,0
[pda] du+[pdb] dws+[pdc] dwc+[pdd] dJ+[ped] dN = [pdf],0,0,0,1,0
[pea] du+[peb] dws+[pec] dwc+[ped] dJ+[pee] dN = [pef],0,0,0,0,1
Bedingungsgleichung der differentiellen äquatorialen Polarkoordinaten dp,dd der Unbekannten
du,e*sin(o),e*cos(o),da''/a'',dJ,dN (in Bogensekunden).
Differential:
dd''=i*v*cos(B)*sin(u-U)*du-i*(v*2*COS(B)*sin(u-U)*cos(u)+sin(sig-d)*sin(u))*e*sin(o
)+i*(v*2*cos (B)*sin(u-U)*sin(u)-sin(sig-d)*cos(u))*e*cos(o)+i*sin(sig-d)*(da''/a'')*206264.806''+i*v*dJ+i*cos(sig- d)*sin(p)*cos(dm)*dN.
Normalgleichung für dd'' und 6 Unbekannte. Parameter. 1,2,3,...,n Messungen
a(n)=i*v*cos(B)*sin(u-U)
b(n)=-i*(v*2*cos(B)*sin(u-U)*cos(u)+sin(sig-d)*sin(u))*206264.806
c(n)=i*(v*2*cos(B)*sin(u-U)*sin(u)-sin(sig-d)*cos(u))*206264.806
d(n)=i*sin(sig-d)*206264.8
e(n)=i*v*sin(B)*sin(u)
f(n)=i*cos(sig-d)*sin(p)*cos(dm)
g(n)=dd'' //BEOBACHTETE MINUS BERECHNETE DISTANZ B-R
Akkumulation:;;3;(33)
[paa] = S
p(n)*a(n)*a(n)
[pba] = S p(n)*a(n)*b(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pea] = S p(n)*a(n)*e(n)
[paf] = S p(n)*a(n)*f(n)
[pba] = S
p(n)*a(n)*b(n)
[pbb] = S p(n)*b(n)*b(n)
[pcb] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pdb] = S p(n)*d(n)*b(n)
[peb] = S p(n)*b(n)*e(n)
[pfb] = S p(n)*b(n)*f(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pcb] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pcc] = S p(n)*c(n)*c(n)
[pdc] = S p(n)*c(n)*d(n)
[pec] = S p(n)*e(n)*c(n)
[pfc] = S p(n)*c(n)*f(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pdb] = S p(n)*b(n)*d(n)
[pdc] = S p(n)*d(n)*c(n)
[pdd] = S p(n)*d(n)*d(n)
[ped] = S p(n)*d(n)*e(n)
[pfd] = S p(n)*d(n)*f(n)
[pae] = S p(n)*a(n)*e(n)
[peb] = S p(n)*b(n)*e(n)
[pec] = S p(n)*c(n)*e(n)
[ped] = S p(n)*d(n)*e(n)
[pee] = S p(n)*e(n)*e(n)
[pfe] = S p(n)*e(n)*f(n)
[paf] = S p(n)*a(n)*f(n)
[pfb] = S p(n)*b(n)*f(n)
[pfc] = S p(n)*c(n)*f(n)
[pfd] = S p(n)*d(n)*f(n)
[pfe] = S p(n)*e(n)*f(n)
[pff] = S p(n)*f(n)*f(n)
[pag] = S p(n)*a(n)*g(n)
[pbg] = S p(n)*b(n)*g(n)
[pcg] = S p(n)*c(n)*g(n)
[pdg] = S p(n)*d(n)*g(n)
[peg] = S p(n)*e(n)*g(n)
[pfg] = S p(n)*f(n)*g(n)
Normalgleichung. X=dd''. dws=e*sin(o), dwc=e*cos(o
). h=da''/a''. p=Gewicht der Messung
[paa] du+[pba] dws+[pca] dwc+[pda] h+[pae] dJ+[paf] dN = [pag],1,0,0,0,0,0
[pba] du+[pbb] dws+[pcb] dwc+[pdb] h+[peb] dJ+[pfb] dN = [pbg],0,1,0,0,0,0
[pca] du+[pcb] dws+[pcc] dwc+[pdc] h+[pec] dJ+[pfc] dN = [pcg],0,0,1,0,0,0
[pda] du+[pdb] dws+[pdc] dwc+[pdd] h+[ped] dJ+[pfd] dN = [pdg],0,0,0,1,0,0
[pea] du+[peb] dws+[pec] dwc+[ped] h+[pee] dJ+[pfe] dN = [peg],0,0,0,0,1,0
[paf] du+[pfb] dws+[pfc] dwc+[pfd] h+[pfe] dJ+[pff] dN = [pfg],0,0,0,0,0,1Numerisches Beispiel.
1. Messung Satellitenposition (d=Distanz, p=Positionwinkel): 10.1.1967, 21h TT: JD=2439501.375,
ar=197.94853°, dm=-5.29247°, rm=1.31989 AE, d=9.023'', p=116.1392°, g=1 usw. (s. DATA-Abschnitt des Progr.). g = Gewicht der Messung. n1=32 Messungen d,p.
REM GFA- ODER OMIKRON BASIC-PROGR FÜR DEN COMPUTER ATARI (leicht in andere
Programmiersprachen zu adaptieren
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)
jd1 = 9500.5 + 21 / 24
d1 = RAD(9.0226 / 3600)
p1 = RAD(116.1392)
ar1 = RAD(197.948531)
dm1 = RAD(-5.292465)
del1 = 1.31989
REM ------------
jd2 = 9500.5 + (21 + 10 / 60) / 24
d2 = RAD(9.4142 / 3600)
p2 = RAD(119.5093)
ar2 = RAD(197.951346)
dm2 = RAD(-5.29354)
del2 = 1.319822
REM -----------------
x1 = COS(0.5 * (ar2 - ar1)) * SIN(0.5 * (dm1 - dm2))
x2 = SIN(0.5 * (ar2 - ar1)) * COS(0.5 * (dm1 + dm2))
l1 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l1
y2 = x2 / l1
w = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4
l1 = ASIN(l1)
x1 = COS(0.5 * (ar2 - ar1)) * COS(0.5 * (dm1 - dm2))
x2 = SIN(0.5 * (ar2 - ar1)) * SIN(0.5 * (dm1 + dm2))
l2 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l2
y2 = x2 / l2
l2 = ACOS(l2)
w1 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4
REM -----------
x1 = SIN(l1) * COS(0.5 * w - 0.5 * (p2 + p1))
x2 = COS(l2) * COS(0.5 * w1 + 0.5 * (p2 - p1))
l3 = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / l3
y2 = x2 / l3
ze1 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4 //z2+z1
l3 = ASIN(l3) * 2
x1 = SIN(l1) * SIN(0.5 * w - 0.5 * (p2 + p1))
x2 = COS(l2) * SIN(0.5 * w1 + 0.5 * (p2 - p1))
w = SQR(x1 * x1 + x2 * x2)
y1 = x1 / w
y2 = x2 / w
ze2 = ATN(y1 / (1 + y2)) * 4 //z2-z1
w = ACOS(w) * 2
REM --------------------------
z2 = (ze1 + ze2) / 2 //z2
z1 = FN r(ze1 - z2) //z1
REM ---------
my = RAD(1128.8445566) //my=MITTL. TÄGL. SID. BEWEGUNG MARSMOND PHOBOS.
dl = my * (jd2 - jd1) //MONDBEWEGUNG IN DER ZWISCHENZEIT JD2-JD1
REM ------
REM BESTIMMUNG DES KREISBAHNRADIUS a,sig1,sig2 IN AE
REM INTERPOLATION REGULA FALSI
REM BEDINGUNG yo<dl<y1
REM BEDINGUNG xo>a>x1
yop = dl
xo = 1
sig1 = ASIN((del1 / xo) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / xo) * SIN(d2)) + d2
yo = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
x1 = 0.000062 //EINTRAG a>x1
sig1 = ASIN((del1 / x1) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / x1) * SIN(d2)) + d2
y1 = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
REM -------------------------
REPEAT //SCHLEIFE
x3 = x2
x2 = x1 - (y1 - yop) * ((x1 - xo) / (y1 - yo))
sig1 = ASIN((del1 / x2) * SIN(d1)) + d1
sig2 = ASIN((del2 / x2) * SIN(d2)) + d2
yn = ACOS(COS(z1 - sig1) * COS(z2 - sig2) + SIN(z1 - sig1) * SIN(z2 - sig2) * COS(w))
PRINT "a: ";x2,yn,yop
IF yop - yn > 0 THEN
xo = x2
yo = yn
ELSE
x1 = x2
y1 = yn
ENDIF
UNTIL ABS(x2 - x3) < 1.0E-16 //SCHLEIFE BEDINGUNG x2-x3<1E-16
REM SIG1 UND SIG2
PRINT
PRINT "SIG1: ";FN deg(sig1);" GRAD"
PRINT "SIG2: ";FN deg(sig2);" GRAD"
REM GROSSE HALBE BAHNACHSE KREISBAHN a
a = x2 //a IN ASTRONOMISCHEN EINHEITEN AE (1 AE = 149597870.66 km).
PRINT "a: ";a;" AE"
PRINT "a: ";a * 149597870;" km"
REM ------------------------
s1 = ASIN(COS(sig1) * SIN(dm1) + SIN(sig1) * COS(dm1) * COS(p1))
y = (SIN(p1) * SIN(sig1)) / COS(s1)
x = (COS(sig1) * COS(dm1) - SIN(sig1) * SIN(dm1) * COS(p1)) / COS(s1)
a1 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + ar1)
REM ----------------
s2 = ASIN(COS(sig2) * SIN(dm2) + SIN(sig2) * COS(dm2) * COS(p2))
y = (SIN(p2) * SIN(sig2)) / COS(s2)
x = (COS(sig2) * COS(dm2) - SIN(sig2) * SIN(dm2) * COS(p2)) / COS(s2)
a2 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + ar2)
REM ---------------
x = (TAN(s2) - TAN(s1) * COS(a2 - a1)) / SIN(a2 - a1)
y = TAN(s1)
j = SQR(x * x + y * y)
x = x / j
y = y / j
n = FN r(a1 - ATN(y / (1 + x)) * 2) //REKTASZENSION AUFST. KNOTEN N
j = ATN(j) //NEIGUNGSWINKEL MONDEBENE GEGEN DIE ERDBAHNEBENE J
PRINT "J: ";FN deg(j);" GRAD"
PRINT "N: ";FN deg(n);" GRAD"
REM ----------------------------
u1 = ATN(TAN(a1 - n) / COS(j))
i = FN r(a1 - n)
REM INTERVALL 0<=u1<=Pi*2
IF i > PI / 2 AND i <= PI * 1.5 THEN
u1 = u1 + PI
ENDIF
IF i > PI * 1.5 AND i < PI * 2 THEN
u1 = u1 + PI * 2
ENDIF
u2 = ATN(TAN(a2 - n) / COS(j))
i = FN r(a2 - n)
REM INTERVALL 0<=u2<=Pi*2
IF i > PI / 2 AND i <= PI * 1.5 THEN
u2 = u2 + PI
ENDIF
IF i > PI * 1.5 AND i < PI * 2 THEN
u2 = u2 + PI * 2
ENDIF
REM -----------------------------------
PRINT "BAHNLÄNGE EPOCHE u1 JD1: ";FN deg(u1)
PRINT "BAHNLÄNGE EPOCHE u2 JD2: ";FN deg(u2)
PRINT
PRINT "KONTROLLE: ";FN deg(u2 - u1),FN deg(dl)
Resultat der Ausgleichsrechnung nach d'' und dp'' sin(d). Die nach dem Residuum bzw. Positionswinkel
dp'' sin(d) abgeleiteten Werte sind akzeptabel, da mit wesentlich geringeren mittleren Fehlern behaftet (vv=1.357E-06'',0.000039''), als die Werte nach Distanzen dd'' (vv=0.000013'', 0.0001'').
Ob ein Bahnelement noch verbessert werden kann, zeigt die Fehlerquadratsumme. Der mittl. Fehler der einzelnen Werte oder die Fehlerquadratsumme (vv) erreicht bei optimaler Verbesserung den minimalsten Wert.
Akzeptierte Bahnelemente mit mittl. Fehler: Epoche 10.1.1967, 21h TT = JDo=2439501.375.
J=38.266° ± 0.0008°.
N=48.018° ± 0.0009°.
e=0.015
a=12.957'' große halbe Bahnachse in Bogensekunden in 1 AE Abstand
ak=9379 km große halbe Bahnachse in km.
P=231.720° ± 62.28° Länge Perhihel.
u=233.002° ± 0.0016° (ohne Mittelpunktsgleichung).
L=281.0204° ± 0.0016° (ohne Mittelpunktsgleichung).
my=1128.8445948 (mittl. tägl. trop. Bewegung).
Die Länge in der Bahn >u< zählt hier vom aufst. Knoten (N) der Mondbahn mit dem Erdäquator.
Die Länge >L< (L=u+N) wird vom Frühligspunkt auf dem Erdäquator bis zum aufsteigenden Knoten (N), dann entlang der Mondbahn gemessen.
Die Länge des Periares >P< wird vom Frühligspunkt bis zum aufst. Knoten (N), dann entlang der Mondbahn bis zum Perizentrum (>P< marsnächster Bahnpunkt) gemessen.
Die elliptische Bahnform liegt den elliptischen Bahnelementen J,N,L,P,e,my der Epoche JDo zugrunde.
Alle Rechte vorbehalten (all rights reserved) , auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherung in elektronischen Medien,
Translation usw. Dasselbe gilt für das Recht der öffentlichen Wiedergabe. Copyright © by H. Schumacher, Spaceglobe. |
