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REM DEIMOS - MARSBAHN
DIM p(10,10),ko(10,10),a(40),b(40),c(40),d(40),a1(40),b1(40),c1(40),g(40)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
REM ----------------------
ec = 0.409092804 //EKLIPTIKSCHIEFE J2000 (RAD)
i = FN rad(1.84973) //WINKEL MARSBAHN/EKLIPTIK J2000
kn = FN rad(49.5581) //EKL. LÄNGE KNOTEN MARSBAHN/EKLIPTIK J2000
j2 = ACOS(COS(i) * COS(ec) - SIN(i) * SIN(ec) * COS(kn))
x = (COS(i) * SIN(ec) + SIN(i) * COS(ec) * COS(kn)) / SIN(j2)
y = (SIN(i) * SIN(kn)) / SIN(j2)
n2 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
REM ---------------
n1 = 37 //EINTRAG ANZAHL WERTPAARE J,N
j = PI / 2 - FN rad(52) //EINTRAG UNGEF¥HRE DEKLINATION NORDPOL MARS ¥QUINOKTIUM J2000
n = FN r(RAD(317) + PI / 2) //EINTRAG UNGEF¥HRE
REKTASZENSION NORDPOL MARS ¥QUINOKTIUM J2000
GOSUB conv1
jb = j3 //UNGEF¥HRER WINKEL DES MARS¥QUATORS AUF DER MARSBAHN
nb = n3 //UNGEF¥HRE L¥NGE DES KNOTENS DES MARS¥QUATORS AUF DER MARSBAHN
k1 = RAD(0.2673304)
k = RAD(6.577422)
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
REM EPOCHE JDo=J2000=JD 2451545------------------------
jdo = 2451545
READ jd,j,n,g
g(i) = g
j = FN rad(j)
n = FN rad(n)
GOSUB reduk
n = nn //REKTASZENSION N ¥QUINOKTIUM J2000
j = jj //DEKLINATION J ¥QUINOKTIUM J2000
GOSUB conv1
t = (jd - 2441266.5) / 365.25
REM BEDINGUNSGLEICHUNG A
a(i) = COS(k * t)
b(i) = -SIN(k * t)
c(i) = (n3 - nb) * SIN(jb)
REM BEDINGUNSGLEICHUNG B
a1(i) = SIN(k * t)
b1(i) = COS(k * t)
c1(i) = j3 - jb + (k1 / k) * SIN(jb) * COS(jb)
NEXT i
dat: //DATA-DATEI JD,J,N, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS JD
DATA 2440952.5,35.8433,43.73345,1
DATA 2441865.5,35.390465,44.19275,1
DATA 2442747.5,35.04149,44.834776,1
DATA 2443478.5,34.839039,45.480678,1
DATA 2444025.5,34.746705,46.00889,1
DATA 2444786.5,37.70838,46.7726,1
DATA 2445578.5,34.7812,47.555675,1
DATA 2446309.5,34.9457151,48.222398,1
DATA 2447039.5,35.19279327,48.79599,1
DATA 2447892.5,35.5663778,49.309379,1
DATA 2448622.5,35.9375174,49.5907038,1
DATA 2449718.5,36.535842,49.7169278,1
DATA 2450449.5,36.9308034,49.6046091,1
DATA 2451179.5,37.297719,49.346842,1
DATA 2452275.5,37.7566990388,48.7253933,1
DATA 2453005.5,37.978977,48.1889985,1
DATA 2453736.5,38.1214043,47.5852507,1
DATA 2454466.5,38.1765344,46.9452509,1
DATA 2455197.5,38.14157,46.2978717,1
DATA 2457023.5,37.67842,44.852446,1
DATA 2457754.5,37.36459,44.418031,1
DATA 2458119.5,37.186939,44.24478,1
DATA 2459580.5,36.3876677,43.899106,1
DATA 2460310.5,35.97062,43.957077,1
DATA 2461041.5,35.56976,44.174942,1
DATA 2461771.5,35.20751,44.54556,1
DATA 2462502.5,34.902707,45.053875,1
DATA 2463232.5,34.673164,45.673083,1
DATA 2463963.5,34.53122,46.371183,1
DATA 2464693.5,34.485194,47.10654,1
DATA 2465424.5,34.53722,48.838264,1
DATA 2466154.5,34.683587,48.521888,1
DATA 2466885.5,34.915533,49.120511,1
DATA 2467615.5,35.21846,49.600402,1
DATA 2468346.5,35.575445,49.939292,1
DATA 2469076.5,35.965231,50.1221802,1
DATA 2469807.5,36.36735,50.1449378,1
REM ----------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM AKKUMULATION
x = 0
xx = 0
xy = 0
y = 0
yy = 0
yz = 0
d = 0
dx = 0
dy = 0
x1 = 0
xx1 = 0
xy1 = 0
yy1 = 0
y1 = 0
yz1 = 0
d1 = 0
dx1 = 0
dy1 = 0
dd = 0
dd1 = 0
p = 0
FOR i = 1 TO n1
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG A
p = p + g(i)
x = x + a(i) * g(i)
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i)
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
y = y + b(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
d = d + c(i) * g(i)
dx = dx + a(i) * c(i) * g(i)
dy = dy + b(i) * c(i) * g(i)
dd = dd + c(i) * c(i) * g(i)
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG B
x1 = x1 + a1(i) * g(i)
xx1 = xx1 + a1(i) * a1(i) * g(i)
xy1 = xy1 + a1(i) * b1(i) * g(i)
y1 = y1 + b1(i) * g(i)
yy1 = yy1 + b1(i) * b1(i) * g(i)
d1 = d1 + c1(i) * g(i)
dx1 = dx1 + a1(i) * c1(i) * g(i)
dy1 = dy1 + b1(i) * c1(i) * g(i)
dd1 = dd1 + c1(i) * c1(i) * g(i)
NEXT i
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG A --------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = p
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = d //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0
p(1,7) = 0
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = dx //1. RESIDUIENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1
p(2,7) = 0
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = dy //1. RESIDUIENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0
p(3,7) = 1
GOSUB elim
c = ko(1,1)
a = ko(2,1)
b = ko(3,1)
REM FEHLERQUADRATSUMME
vv = dd - d * ko(1,1) - dx * ko(2,1) - dy * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv1 = vv1 + (c(i) - (ko(1,1) + a(i) * ko(2,1) + b(i) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 3))
s1 = SQR(s)
mfa = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
mfb = SQR(ABS(s * ko(3,4)))
mfc = SQR(ABS(s * ko(1,2)))
IF n1 <> p THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
REM -------------
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG B ----------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = p
p(1,2) = x1
p(1,3) = y1
p(1,4) = d1 //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0
p(1,7) = 0
p(2,1) = x1
p(2,2) = xx1
p(2,3) = xy1
p(2,4) = dx1 //1. RESIDUIENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1
p(2,7) = 0
p(3,1) = y1
p(3,2) = xy1
p(3,3) = yy1
p(3,4) = dy1 //1. RESIDUIENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0
p(3,7) = 1
GOSUB elim
c1 = ko(1,1)
a1 = ko(2,1)
b1 = ko(3,1)
REM FEHLERQUADRATSUMME
vv2 = dd1 - d1 * ko(1,1) - dx1 * ko(2,1) - dy1 * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv3 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv3 = vv3 + (c1(i) - (ko(1,1) + a1(i) * ko(2,1) + b1(i) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s2 = ABS(vv2 / (n1 - 3))
s3 = SQR(s2)
mfa1 = SQR(ABS(s2 * ko(2,3)))
mfb1 = SQR(ABS(s2 * ko(3,4)))
mfc1 = SQR(ABS(s2 * ko(1,2)))
IF n1 <> p THEN
s3 = s3 / SQR(p)
ENDIF
REM ---------------------
j3 = jb + c1
n3 = nb + c / SIN(j3)
GOSUB conv2
j1 = j
n1 = n
dp1 = PI / 2 - j1
ap1 = FN r(n1 - PI / 2)
REM ------------------
g = SQR(a * a + b * b)
ao = a / g
bo = b / g
ko = FN r(ATN(ao / (1 + bo)) * 2)
g1 = SQR(a1 * a1 + b1 * b1)
ao = a1 / g1
bo = b1 / g1
ko1 = FN r(ATN(ao / (1 + bo)) * 2)
mfg = SQR(mfa * mfa + mfb * mfb)
fa = mfa / mfg
fb = mfb / mfg
fko = FN r(ATN(fa / (1 + fb)) * 2)
mfg1 = SQR(mfa1 * mfa1 + mfb1 * mfb1)
fa = mfa1 / mfg1
fb = mfb1 / mfg1
fko1 = FN r(ATN(fa / (1 + fb)) * 2)
PRINT "BEDINGUNGSGLEICHUNG A:"
PRINT "DEKLINATION NORDPOL MARS J2000: ";FN deg(dp1);" +/-";FN deg(mfc1);" GRAD"
PRINT "REKTASZENSION NORDPOL MARS J2000: ";FN deg(ap1);" +/-";FN deg(mfc) / SIN(j3);"
GRAD"
PRINT "WINKEL LAPLAC. EBENE/MONDBAHNEBENE: ";FN deg(g);" +/-";FN deg(mfg);" GRAD"
PRINT "KNOTEN LAPLAC. EBENE/MONDBAHNEBENE: ";FN deg(ko);" +/-";FN deg(fko);"
GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT a ";FN deg(a);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT b ";FN deg(b);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT c ";FN deg(c);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";FN deg(s1)
PRINT "MITTL. FEHLER a....: ";FN deg(mfa)
PRINT "MITTL. FEHLER b....: ";FN deg(mfb)
PRINT "MITTL. FEHLER c....: ";FN deg(mfc) / SIN(j3)
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv;" / ";vv1
PRINT "BEDINGUNGSGLEICHUNG B:"
PRINT "WINKEL LAPLACE. EBENE/MONDBAHNEBENE: ";FN deg(g1);" +/-";FN deg(mfg1);" GRAD"
PRINT
"KNOTEN LAPLACE. EBENE/MONDBAHNEBENE: ";FN deg(ko1);" +/-";FN deg(fko1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT a1 ";FN deg(a1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT b1 ";FN deg(b1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT c1 ";FN deg(c1);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";FN deg(s2)
PRINT "MITTL. FEHLER a1...: ";FN deg(mfa1)
PRINT "MITTL. FEHLER b1...: ";FN deg(mfb1)
PRINT "MITTL. FEHLER c1...: ";FN deg(mfc1)
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv2;" / ";vv3
REPEAT
UNTIL UPPER$(INKEY$) = " "
END
PROCEDURE reduk
to = (jd - 2451545) / 36525
t1 = (jdo - jd) / 36525
w1 = RAD(((2306.218 + 1.3966 * to - 0.00014 * to * to) * t1 + (0.3019 - 0.00035 *
to) * t1 * t1 + 0.018 * t1 * t1 * t1) / 3600)
w2 = RAD(((2306.218 + 1.3966 * to - 0.00014 * to * to) * t1 + (1.095 + 0.00007 * to) * t1 * t1 + 0.0182 * t1 * t1 * t1) / 3600)
w3 = RAD(((2004.311 - 0.8533 * to - 0.00022 *
to * to) * t1 + (-0.4267 - 0.00022 * to) * t1 * t1 - 0.04183 * t1 * t1 * t1) / 3600)
REM -----------------------------------------
jj = SIN(w3) * SIN(j) * SIN(n + w1) + COS(w3) * COS(j)
IF ABS(jj) >= 1 THEN
jj = 0.999999999 * SGN(jj)
ENDIF
jj = ACOS(jj)
x = (SIN(j) * COS(n + w1)) / SIN(jj)
y = (COS(w3) * SIN(j) * SIN(n + w1) - SIN(w3) * COS(j)) / SIN(jj)
IF x <= -0.9999999999 THEN
nn = FN r(PI + w2)
ELSE
nn = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
ENDIF
RETURN
PROCEDURE conv1
REM Conversion J,N nach J3,N3:
jj = PI - j
nn = n - n2
j3 = ACOS(-COS(jj) * COS(j2) + SIN(jj) * SIN(j2) * COS(nn))
n3 = FN r(ASIN((SIN(nn) * SIN(jj)) / SIN(j3)))
RETURN
PROCEDURE conv2
REM Conversion J3,N3 nach J,N:
jj = ACOS(-COS(j3) * COS(j2) + SIN(j3) * SIN(j2) * COS(n3))
j = PI - jj
n = FN r(n2 + ASIN((SIN(n3) * SIN(j3)) / SIN(jj)))
RETURN
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RšCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Kreiselbewegung der Erdachse - Präzession der Äquinoktien.Infolge der Kreiselbewegung der Erdachse, die in 24000- 25270 Jahren einen vollen Umlauf um den Pol der Erdbahnebene (Ekliptik) vollführt,
wandert gegenwärtig der aufsteigende Schnittpunkt der Ekliptik auf dem Erdäquator (=Aries-Point = Widderpunkt = Frühlingsäqinoktium = Kolur der Länge 0 Grad), auf den die ird. Koordinaten ekl. Länge u. Rektazension bezogen sind, etwa um
360/25270 Jahre = 0.0143 Grad * 3600'' = 50.29'' pro Jahr nach Westen.
Die auf den Erdäquator bzw. Frühlingspunkt bezogenen Koordinaten (J,N) sind daher z. B. nur für das Äquinoktium der Epoche (JDo = J=Je,N=Ne).
10.1.1967, 21h TT =
JDo=2439501.375 streng gültig. JD=julian. Datum der Beobachtungszeit. Die für das Äquinoktium J2000 (JD=2451545) spezifizierten Jf,Nf, können z. B. auf das Äquinoktium des Datums umgerechnet werden (statt JDo 2439501.375,Je,Ne ist JD
2451545, Jf,Nf einzusetzen).
Approximation für ird. Präzession (anwendbar etwa 100 Jahre vor und nach der Epoche).
J=Je-0.00556831°*SIN(FN rad(Je))*((JD-2439501.375)/365.25) //J,Je in GRADMASS
N=Ne+(0.01280975°-0.00556831°*COS(FN rad(Ne))*(1/TAN(FN rad(Je))))*((JD-2439501.375)/365.25) //N,Ne in GRADMASS
ho=
ho+0.00556831°*(COS(FN rad(Ne))/SIN(FN rad(Je)))*((JD-2439501.375)/365.25).
Strenge Transformation für Präzession in äquatorialen Koordinaten:
REM REDUKTION J,N ÄQUINOKTIUM DES DATUMS JD ZU J,N J2000 (JD 2451545)
to=(JD-2451545)/36525
t=(2451545-jd)/36525
REM ODER UMGEKEHRTE REDUKTION QUINOKTIUM J2000
ZU QUINOKTIUM DES DATUMS JD
to=0
t=(JD-2451545)/36525
REM PARAMETER PRZESSION---------------
w1=RAD(((2306.218+1.3966*to-0.00014*to*to)*t+(0.3019-0.00035*to)*t*t+0.018*t*t*t)/3600)
w2=RAD(((2306.218+1.3966*to-0.00014*to*to)*t+(1.095+0.00007*to)*t*t+0.0182*t*t*t)/3600)
w3=RAD(((2004.311-0.8533*to-0.00022*to*to)*t+(-0.4267-0.00022*to)*t*t-0.04183*t*t*t)/3600)
J=PI/2-dm
N=FN r(ar+PI/2)
J,N=WINKEL U. KNOTEN.
jj=SIN(w3)*SIN(J)*SIN(N+w1)+COS(w3)*COS(J)
IF ABS(jj)>=1 THEN
jj=0.999999999*SGN(jj)
ENDIF
jj=ACOS(jj)
x=(SIN(J)*COS(N+w1))/SIN(jj)
y=(COS(w3)*SIN(J)*SIN(N+w1)-SIN(w3)*COS(J))/SIN(jj)
IF x<=-0.9999999999 THEN
nn=FN r(PI+w2)
ELSE
nn=FN r(ATN(y/(1+x))*2+w2)
ENDIF
ho=ho+ASIN((SIN(w3)*cos(N+w1))/sin(jj))
J=jj
N=nn
dm=PI/2-J;;3;(33)
ar=FN r(N-PI/2)
dm,ar=DEKLINATION U. REKTASZENSION NORDPOL
dm1=ASIN(SIN(dm)*COS(w3)+COS(dm)*SIN(w3)*COS(ar+w1))
y=(COS(dm)*SIN(ar+w1))/COS(dm1)
x=(-SIN(dm)*SIN(w3)+COS(dm)*COS(w3)*COS(ar+w1))/COS(dm1)
IF x<=-0.999999999999 THEN
ar1=FN r(PI+w2)
ELSE
ar1=FN r(ATN(y/(1+x))*2+w2)
ENDIF
ho=ho+ASIN((-SIN(w3)*SIN(ar+w1))/COS(dm1))
dm=dm1
ar=ar1
Ephemeride - Mondposition aus elliptischen Bahnelementen
Bei bekanntem Wert ho bezieht man die Bahnelemente N,J,P,L der Epoche JDo auf die Laplacesche Ebene (Nf,Jf, h
o).
Akzeptierte Bahnelemente mit mittl. Fehler: Epoche 10.1.1967, 21h TT = JDo=2439501.375, Äquinoktium des Datums.
J=38.266° ± 0.0008°.
N=48.018° ± 0.0009°.
e=0.015
a=12.957'' (in 1 AE).
ak=9379 km.
P=231.720° ± 62.28° (gemessen ab Frühlingspunkt).
P_N=183.702° ± 62.28° (=P-N=gemessen ab N).
u=233.002° ±0.0016° (ohne Mittelspunktsgleichung, gemessen ab Knoten N).
L=281.0204° ±
0.0016° (ohne Mittelpunktsgleichung, gemessen ab Frhlingspunkt).
L_N=233.0024° ±
0.0016° (ohne Mittelpunktsgleichung, gemessen ab Knoten N).
my=1128.8445948° (mittl. tägl. trop. Bewegung).
my=1128.844557° (mittl. tägl. sid. Bewegung).
Laplacesche Ebene. Akzeptierte Werte der Epoche JDo=2439501.375:
Jf=37.07° ± 0.001°, Äquinoktium J2000.
Nf=47.78° ± 0.004°, Äquinoktium J2000.
c =1.103° ± 0.003°.
ho = 16.37° ± 50.094°.
K=159.003° ±
0.0173°.
h=ho 16.37°-159.003°*(JD-2439501.375)/365.25, Äquinoktium J2000.
Die Werte der Laplaceschen Ebene sind auf das mittl. Äquinoktium J2000 bezogen. Die
Werte P_N, u, L_N sind daher ebenfalls auf J2000 zu beziehen.
JD=2439501.375. Äquinoktium J2000: J=38.1292°, N=48.2848°.
0.19808°=ASIN((SIN(w3)*COS(n+w1))/SIN(jj))
L_N 233.2005° (J2000) = L_N 233.0024°+0.19808°.
P_N 183.9001° (J2000) = P_N 183.702°+0.19808°.
u 233.2001° (J2000) = u 233.002°+0.19808°.
TRANSFORMATIONSFORMEL g=c ,ko=ho, w aus J,N,Jf,Nf
und TRANSFORMATION J,N,w aus Jf,Nf,ko,g ergeben w=16.014°.
Auf die Laplacesche Ebene bezogene Elemente Epoche 2439501.375, Äquinoktium J2000.
L 281.3365° = L_N 233.2005° - w 16.014° + ho 16.37° + Nf 47.78°.
P 232.0361° = P_N 183.900° - w 16.014° + ho 16.37° + Nf 47.78°.
u=L-Nf-h
+w+Mittelpunktsgleichung (Mittelpunktsgleichung=wahre minus mittl. Anomalie).
L zählt ab dem Frhlingspunkt entlang des Erdäquators bis Nf, ab Nf entlang der Laplaceschen Ebene zum Knoten der Laplaceschen Ebene mit der Mondbahnebene,
dann entlang der Mondbahn.
P mißt ab dem Frühlingspunkt entlang des Erdäquators bis Nf, ab Nf entlang der Laplaceschen Ebene zum Knoten der Laplaceschen Ebene mit der Mondbahnebene, dann entlang der Mondbahn bis zum Perizentrum.
Das Argument der Breite u mißt ab N entlang der Mondbahnebebne bis zum Satellitenort.;
rm=Entfernung Erde-Mars in astronom. Einheiten (AE).
158.954257° jährl. Bewegung des Phobos-Perizentrums. Vgl. Drehung der Apsidenachse und
der festen Ebene der Mondbahn infolge der Sötrung durch die Abplattung des Planeten
Die wahre tägl. oder jährl. Bewegung des Perizentrums (P) ermittelt man aus den Beobachtungen.
Die Marsmonde Deimos und Phobos unterliegen zudem
einer säkularen Beschleunigung (Akzeleration) aufgrund von Gezeitenkräften, die bei Phobos etwa 0.001°j2
ausmachen (j=Jahre seit der Epoche). Phobos wird demzufolge nach etwa 40 Millionen Jahren daher auf die Planetenoberfläche abstürzen.
Liegen die auf die Laplacesche Ebene bezogenen Bahnelemente endlich vor, können die
Satellitenpositionen (Ephemeride) berechnet werden.
L=L 281.3365°+my 1128.844557°*((JD-2439501.375)-0.00577518*rm).
L=L+0.001*((JD-2439501.375)/365.25)^2 //jährl. Akzeleration Phobos
P=P 232.0361°+158.954257°)*((JD-2439501.375)/365.25).
h=(h
o 16.37°-159.003°)*((JD-2439501.375)/365.25).
e=0.015.
a=12.957''.
ak=9379 km.
Jf=37.07° mittl. Äquinoktium J2000
Nf=47.78° mittl. Äquinoktium J2000
c = 1.103°.
Beispiel. Position Phobos am 10.1.1967, 21h TT = JD=2439501.375.
Ergebnis: Distanz d=9.0168”, Positionswinkel p=116.113°.
Rektaszensionsdifferenz Satellit-Mars x 8.097'', Deklinationsdifferenz Satellit-Mars -3.97'', mittl. Äquinoktium des Datums. Das berechnete Ergebnis d,p ist noch um die
differentielle Refraktion relativ zu Mars zu korrigieren, um Rechnung u. Beobachtung in Übereinstimmung zu bringen.
REM SATPOS
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
REM BAHNELEMENTE PHOBOS ÄQUINOKTIUM J1950
jdo = 2439501.375 //EINTRAG EPOCHE BAHNELEMENTE
jd = 2439501.375 //EINTRAG JD BEOBACHTUNGSZEIT (TT)
jdd = jd - jdo
REM -----------------------
dm = FN rad(-5.292465) //EINTRAG DEKLIN. MARS, QUINOKTIUM DES DATUMS
ar = FN rad(197.948532) //EINTRAG REKTASZENSION MARS
rm = 1.319892 //EINTRAG ENTF. ERDE-MARS IN AE
ae = 149597870.66 //1 ASTRONOMISCHE EINHEIT (AE)
REM -------------------------------------------
ak = 9379 //GROSSE HALBE BAHNACHSE DES TRABANTEN (km)
jf = FN rad(37.07) //WINKEL DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DER ERDÄQUATOREBENE
QUINOKTIUM J1950
nf = FN rad(47.78) //KNOTEN DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DER ERDÄQUATOREBENE QUINOKTIUM J1950
g = FN rad(1.103) //WINKEL BAHNEBENE/LAPLACESCHE EBENE
e = 0.015 //EXENTRIZITT DER BAHN
per = FN r(FN rad(232.0361 + 158.954257 * (jdd / 365.25))) //LNGE PERIZENTRUM
le = FN r(FN rad(281.3365 + 1128.844557 * (jdd - 0.005775518 * rm) + 0.001237 * (jdd / 365.25) ^ 2)) //LNGE IN DER BAHN
k = FN r(FN rad(16.37 - 159.003 *
(jdd / 365.25))) //LNGE DER LAPLACESCHEN EBENE ZWICHEN DEN KNOTEN
m = FN r(le - per) //MITTLERE ANOMALIE
ex = m
FOR i = 1 TO 20
ex = m + e * SIN(ex) //EXENTRISCHE ANOMALIE
NEXT i
ro = 1 - e * COS(ex)
//ENTFERNUNG (RADIUS VEKTOR) SATELLIT-MARS IN RADIEN DER HALBEN BAHNACHSE (a)
REM AUF DIE BAHNEBENE BEZOGENE KARTESISCHE KOORDINATEN DES SATELLITEN
REM x,y,z=0 IN ASTRONOM. EINHEITEN. ^=POTENZIERUNG.
REM +x-ACHSE LIEGT IM PERIZENTRUM DER BAHN, +y-ACHSE TRANSVERSAL
REM ZUR x-ACHSE, z-ACHSE=0=BAHNPOL
x = (ak * (COS(ex) - e)) / ae
y = (ak * (1 - e ^ 2) ^ 0.5 * SIN(ex)) / ae
z = 0
REM DREHUNG DES PERIZENTRUMS (+x-ACHSE) UM DEN POL DER BAHNEBENE
REM (z-ACHSE)
REM ZUM AUFST. KNOTEN DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DER MONDBAHNEBENE
REM per=LÄNGE DES PERIZENTRUMS, GEMESSEN VOM FRÜHLINGSPUNKT ZUM
REM SCHNITTPUNKT DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DEM ERDÄQUATOR (Nf)
REM ENTLANG DER LAPLACESCHEN EBENE ZUM AUFST. KNOTEN DER
REM LAPLACESCHEN EBENE AUF DER MONDBAHNEBENE.
REM DIE +x1-ACHSE LIEGT SOMIT IM AUFST. KNOTEN DER LAPLACESCHEN
REM EBENE AUF DER MONDBAHNEBENE
w = FN r(per - (k + nf))
x1 = x * COS(w) - y * SIN(w)
y1 = x * SIN(w) + y * COS(w)
z1 = z
REM DREHUNG DER +x1-ACHSE UM DEN NEIGUNGSWINKEL (g) DER MONDBAHNEBENE
REM AUF DER LAPLACESCHEN EBENE. DIE BAHNEBENE DES TRABBANTEN
REM FLLT DANN MIT DER LAPLACESCHEN EBENE ZUSAMMEN
x2 = x1
y2 = y1 * COS(g) - z1 * SIN(g)
z2 = y1 * SIN(g) + z1 * COS(g)
REM DREHUNG DER z2-ACHSE UM DEN WINKEL K.
K=LNGE ZWISCHEN DEM KNOTEN
REM DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DEM ERDQUATOR (NF) UND MONDBAHENEBE
REM x3 LIEGT DANN IM AUFST. KNOTEN DER LAPLACESCHEN EBENE AUF DER
REM ERDQUATOREBENE (NF)
x3 = x2 * COS(k) - y2 * SIN(k)
y3 = x2 * SIN(k) + y2 * COS(k)
z3 = z2
REM DREHUNG DER +x3-ACHSE UM DEN WINKEL Jf. Jf=WINKEL LAPLACESCHE
REM EBENE AUF DER ERDQUATORBENE. DER BAHNEBENE LIEGT SOMIT
REM INNERHALB DER ERDQUIATOREBENE
x4 = x3
y4 = y3 * COS(jf) - z3 * SIN(jf)
z4 = y3 * SIN(jf) + z3 * COS(jf)
REM DREHUNG DES WINKELS Nf UM DIE +z4-ACHSE. DIE +x-ACHSE FÄLLT
REM DANN MIT DEM FRÜHLINGSPUNKT ZUSAMMEN
x5 = x4 * COS(nf) - y4 * SIN(nf)
y5 = x4 * SIN(nf) + y4 * COS(nf)
z5 = z4
REM Die „quatorialen kart. Koordinaten des Satelliten x5,y5,z5,
REM die sich in der Regel auf ein bestimmtes quinoktium der
REM Pr„zession (Standard„quinoktium B1950=JDo 2433282.423 oder
REM J2000=JDo 2451545) beziehen, mssen durch Anbringung der
REM Pr„zession auf des quinoktium des Datums (JD) reduziert
REM werden, wenn Beobachtung (JD) und Rechnung bereinstimmen sollen.
REM PARAMETER PRZESSION -------
to = 0
t = (jd - 2451545) / 36525
w1 = FN rad((2306.218 * t + 0.302 * t * t + 0.018 * t * t * t) / 3600)
w2 = FN rad((2306.218 * t + 1.0947 * t * t + 0.0182 * t * t * t) / 3600)
w3 = FN rad((2004.311 * t - 0.4267 * t * t - 0.04183 * t * t * t) / 3600)
REM „quatoriale Pr„zessionsparameter w1,w2,w3
a11 = COS(w2) * COS(w3) * COS(w1) - SIN(w1) * SIN(w2)
a21 = SIN(w2) * COS(w3) * COS(w1) + SIN(w1) * COS(w2)
a31 = SIN(w3) * COS(w1)
a12 = -SIN(w2) * COS(w1) - COS(w2) * COS(w3) * SIN(w1)
a22 = COS(w2) * COS(w1) - SIN(w2) * COS(w3) * SIN(w1)
a32 = -SIN(w1) * SIN(w3)
a13 = -COS(w2) * SIN(w3)
a23 = -SIN(w2) * SIN(w3)
a33 = COS(w3)
REM KART. TRANSFORMATION x,y,z IN ASTROOM. EINHEITEN (AE)
REM MITTL. QUINOKTIUM DES DATUMS
x = a11 * x5 + a12 * y5 + a13 * z5
y = a21 * x5 + a22 * y5 + a23 * z5
z = a31 * x5 + a32 * y5 + a33 * z5
REM -----------------------
REM RECHTWINKLIGE KOORDINATEN DES TRABANTEN---
xi = (y * COS(ar) - x * SIN(ar)) / rm
et = (z * COS(dm) - x * SIN(dm) * COS(ar) - y * SIN(dm) * SIN(ar)) / rm
REM POLARKOORIDNATEN d,p
d = SQR(xi * xi + et * et)
y1 = xi / d
x1 = et / d
p = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
REM ------------------------------------
CLS
PRINT "RECHTWINKLIGE ERDQUATOREBENE BEZOGENE LICHTZEIT"
PRINT "KORRIGIERTE KOORDINATEN RELATIV ZU MARS2"
REM ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
PRINT "POLARKOORDINATEN p: ";FN deg(p);" GRAD"
PRINT " s: ";FN deg(d) * 3600;" ''"
REM ÄQUINOKTIUM J1950
PRINT '"x=";x5 * ae;"km"
PRINT "y=";y5 * ae;" km"
PRINT "z=";z5 * ae;" km"
PRINT
REM ÄQUINOKTIUM DES DATUMS //''=ANFšHRUNGSZEICHEN
PRINT "x=";x * ae;" km"
PRINT "y=";y * ae;" km"
PRINT "z=";z * ae;" km"
PRINT
REM ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
PRINT "REKTASZENSIONSDIFFERENZ x: ";FN deg(xi) * 3600;" ''"
PRINT "DEKLINATIONSDIFFERENZ y: ";FN deg(et) * 3600;'" ''"
PRINT
REM -------------------------------------------
REM ODER ALTERNATIV
REM DREHUNG UM DIE REKTASZENSION PLANET (ar)
x6 = x * SIN(ar) - y * COS(ar)
y6 = x * COS(ar) + y * SIN(ar)
z6 = z
REM DREHUNG UM DIE DEKLINATION PLANET (dm)
x7 = -x6
y7 = z6 * COS(dm) - y6 * SIN(dm)
z7 = z6 * SIN(dm) + y6 * COS(dm)
REM ------------------
ra = 3397.4 //WAHRER RADIUS MARS (km)
r = 4.684318 / rm //SCHEINBARER WINKELRADIUS MARS (BOGENSEKUNDEN()
REM ---------------
x1 = ((x7 * ae) / ra)
y1 = ((y7 * ae) / ra)
z1 = ((z7 * ae) / ra)
REM KORREKTUR DER WERTE x1,y1 FšR DIFFERENTIELLE LICHTZEIT
REM ro=Radius Vektor des Satlliten
k1 = (z1 / 140167.75) * SQR((x1 / ro) ^ 2) //PHOBOS
REM k2=(z1/221848.35)*SQR(1-(x1/ro)^2) //DEIMOS
x1 = x1 + k1 //PHOBOS
REM KORREKTUR x1,y1 FÜR PERSPEKTIVISCHER EFFEKT
f = rm / (rm + z / (ae / ra)) //PERSPEKTIVISCHER EFFEKT
x1 = x1 * f
y1 = y1 * f
REM -------------
PRINT "RECHTWINKLIGE KOORDINATEN (PLANETENRADIEN):"
PRINT ''x '';x1;'' ''''
PRINT ''y '';y1;'' ''''
PRINT ''z '';z1;'' ''''
PRINT '"RECHTWINKLIGE KOORDINATEN (BOGENSEKUNDEN):"
PRINT ''x '';x1 * r;'' ''''
PRINT ''y '';y1 * r;'' ''''
PRINT ''z '';z1 * r;'' ''''
Die differentielle Lichtzeit ist nahe der östl. oder westl. Elongation des Satelliten gleich null. Bei einer berechneten Konjunktion ist die x-Koordinate zweier Monde zwar identisch, werden aber nicht in exakter Konjunktion
beobachtet. An der berechneten x-Koordinate ist daher der perspektivische Effekt anzubringen, um Rechnung und Beobachtung zu vereinbaren.
Im Fall der Marsmonde kann die diff. Lichtzeit u. der perspektivische Effekt vernachlässigt werden.
Bahnverbesserungsverfahren für elliptische Bahnelemente
Liegen die Bahnelemente J,N,L,P,e,a einer elliptischen Mondbahn und beobachtete Distanzen und Positionswinkel (d,p) eines Mondes en masse
vor, bildet man für das Bahnverbesserungsverfahren nach der Methode der kleinsten Fehlerabweichungen, die durch verbesserte Elemente wieder ein Minimum annehmen, die Fehlergrößen im Sinne beobachtete minus berechnete Position (B-R).
Bedingungsgleichung A der differentiellen äquat. Polarkoordinaten sin s dp. f=arcsin(e); e=Exentrizität der Bahn; r=1-e*cos(ex); ex=exentrische Anomalie; r=Entfernung (Radius Vektor) Satellit-Planet. t=in Tagen ab der Epoche JDo:
t=(JD-JDo).
da'',du,dmy,de,dP,dJ,dN = Verbesserung der Ausgangswerte a'',u (bzw. L), my (mittl. tägl. Bewegung),e,P,J,N. dm,ar,rm = Deklination, Rektaszension u. Entfernung des Mars.
Große Bahnhalbachse a AE in der Einheitsentfernung
1 AE in Bogensekunden: a''=a AE * 206264.806''. In jeweiliger Entfernung des Mars: a1''=a''/<; a km=a AE *
149597870.66 km. a in mittlerer Entfernung des Mars von der Sonne 1.523679 AE: a2''=((a km /149597870.66)*206264.806'')*1.523679.
Wahre Anomalie: vw=arctan(Å((1+e)/(1-e))*tan(ex/2))*2.
B=ARCSIN(sin(J) COS(dm) sin(ar-N) - cos(J) sin(dm))
y=(cos(j) cos(dm) sin(ar-N) + sin(J) sin(dm))/cos(B)
x=(cos(dm) cos(ar-N))/cos(B)
U=ARCTAN(y/(1+x))*2
sig=arccos(cos(B)*cos(u-U)). u=Argument der Breite.
A)
i=((a''/206264.806'')/<
)*(sin(sig-d)/sin(sig))
k=sin(B)/sin(sig)
v=cos(sig-d)/sin(sig)
Bedingungsgleichung Differential A:
sin(d*dp)=i*k*(COS(f)/r)*du+i*k*(COS(f)/r)*t*dmy+i*k*(1+r*(1/COS(f*f)))*de+i*r*k*dP-i*r*(c
os(B)/sin(sig))*sin(u-U)*sin(u)*dJ+i*r*(cos(sig)*sin(u)*sin(J)-sin(dm))/sin(sig))*dN.
Normalgleichung sin(d*dp) für 6 Unbekannte. Argumente. 1,2,3,...,n Messungen
a(n)=i*k*(cos(f)/r)
b(n)=i*k*(cos(f)/r)*t
c(n)=i*k*(1+r*(1/cos(f*f)))
d(n)=i*r*k
e(n)=-i*r*(cos(B)/sin(sig))*sin(u-U)*sin(u)
f(n)=i*r*(cos(sig)*sin(J)-sin(dm))/sin(sig)
g(n)=sin(d*dp)
Akkumulation der Argumente:
[paa] = S p(n)*a(n)*a(n)
[pba] = S p(n)*a(n)*b(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pea] = S
p(n)*a(n)*e(n)
[paf] = S p(n)*a(n)*f(n)
[pba] = S
p(n)*a(n)*b(n)
[pbb] = S p(n)*b(n)*b(n)
[pcb] =
S p(n)*b(n)*c(n)
[pdb] = S p(n)*d(n)*b(n)
[peb] = S p(n)*b(n)*e(n)
[pfb] = S p(n)*b(n)*f(n)
[pca] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pcb] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pcc] = S p(n)*c(n)*c(n)
[pdc] = S
p(n)*c(n)*d(n)
[pec] = S p(n)*e(n)*c(n)
[pfc] = S
p(n)*c(n)*f(n)
[pda] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pdb] =
S p(n)*b(n)*d(n)
[pdc] = S p(n)*d(n)*c(n)
[pdd] = S p(n)*d(n)*d(n)
[ped] = S p(n)*d(n)*e(n)
[pfd] = S
p(n)*d(n)*f(n)
[pae] = S p(n)*a(n)*e(n)
[peb] = S
p(n)*b(n)*e(n)
[pec] = S p(n)*c(n)*e(n)
[ped] =
S p(n)*d(n)*e(n)
[pee] = S p(n)*e(n)*e(n)
[pfe] = S p(n)*e(n)*f(n)
[paf] = S p(n)*a(n)*f(n)
[pfb] = S
p(n)*b(n)*f(n)
[pfc] = S p(n)*c(n)*f(n)
[pfd] = S
p(n)*d(n)*f(n)
[pfe] = S p(n)*e(n)*f(n)
[pff] =
S p(n)*f(n)*f(n)
[pag] = S p(n)*a(n)*g(n)
[pbg] = S p(n)*b(n)*g(n)
[pcg] = S p(n)*c(n)*g(n)
[pdg] = S
p(n)*d(n)*g(n)
[peg] = S p(n)*e(n)*g(n)
[pfg] = S
p(n)*f(n)*g(n)
Normalgleichung A.:
[paa] du+[pba] dmy+[pca] de+[pda] dP+[pae] dJ+[paf] dN = [pag],1,0,0,0,0,0
[pba] du+[pbb] dmy+[pcb] de+[pdb] dP+[peb] dJ+[pfb] dN = [pbg],0,1,0,0,0,0
[pca] du+[pcb] dmy+[pcc] de+[pdc] dP+[pec] dJ+[pfc] dN = [pcg],0,0,1,0,0,0
[pda] du+[pdb] dmy+[pdc] de+[pdd] dP+[ped] dJ+[pfd] dN = [pdg],0,0,0,1,0,0
[pea] du+[peb] dmy+[pec] de+[ped] dP+[pee] dJ+[pfe] dN = [peg],0,0,0,0,1,0
[paf] du+[pfb] dmy+[pfc] de+[pfd] dP+[pfe] dJ+[pff] dN = [pfg],0,0,0,0,0,1
Differential B:
B)
dd''=(i*v*cos(B)*sin(u-U)*(cos(f)/r)+i*sin(sig-d)*tan(f)*sin(w))*du+(i*v*cos(B)*sin(u-U)*(cos(f)/r )+i*sin(sig-d)*tan(f)*sin(w))*t*dmy;
+(i*v*cos(B)*sin(u-U)*sin(w)*(1+r*(1/cos(f*f))-i*sin(sig-d)*cos(w))*de;
+i*r*v*cos(B)*sin(u-U)*dP+((i*r*sin(sig-d))/a2'')*da''+i*r*v*sin(B)*sin(u)*dJ+i*r*cos(sig-d)*sin( p)*cos(dm)*dN.
Normalgleichung dd'' für 7 Unbekannte. Argumente. 1,2,3,...,n Messungen
a(n)=(i*v*cos(B)*sin(u-U)*(cos(f)/r)+i*sin(sig-d)*tan(f)*sin(w))*du
b(n)=(i*v*cos(B)*sin(u-U)*(cos(f)/r)+i*sin(sig-d)*tan(f)*sin(w))*t
c(n)=(i*v*cos(B)*sin(u-U)*sin(w)*(1+r*(1/cos(f*f))-i*sin(sig-d)*cos(w))
d(n)=i*r*v*cos(B)*sin(u-U)*dP
e(n)=((i*r*sin(sig-d))/a2'')
f(n)=i*r*v*sin(B)*sin(u)*dJ
g(n)=i*r*cos(sig-d)*sin(p)*cos(dm)*dN
h(n)=dd''
Akkumulation der Argumente:
[paa] = S p(n)*a(n)*a(n)
[pba] = S
p(n)*b(n)*a(n)
[pca] = S p(n)*c(n)*a(n)
[pda] = S
p(n)*d(n)*a(n)
[pea] = S p(n)*e(n)*a(n)
[pfa] =
S p(n)*f(n)*a(n)
[pga] = S p(n)*g(n)*a(n)
[pab] = S p(n)*a(n)*b(n)
[pbb] = S p(n)*b(n)*b(n)
[pcb] = S
p(n)*c(n)*b(n)
[pdb] = S p(n)*d(n)*b(n)
[peb] = S
p(n)*e(n)*b(n)
[pfb] = S p(n)*f(n)*b(n)
[pgb] =
S p(n)*g(n)*b(n)
[pac] = S p(n)*a(n)*c(n)
[pbc] = S p(n)*b(n)*c(n)
[pcc] = S p(n)*c(n)*c(n)
[pdc] = S
p(n)*d(n)*c(n)
[pec] = S p(n)*e(n)*c(n)
[pfc] = S
p(n)*f(n)*c(n)
[pgc] = S p(n)*g(n)*c(n)
[pad] = S p(n)*a(n)*d(n)
[pbd] = S p(n)*b(n)*d(n)
[pcd] = S p(n)*c(n)*d(n)
[pdd] = S p(n)*d(n)*d(n)
[ped] = S
p(n)*e(n)*d(n)
[pfd] = S p(n)*f(n)*d(n)
[pgd] = S
p(n)*g(n)*d(n)
[pae] = S p(n)*a(n)*e(n)
[pbe] =
S p(n)*b(n)*e(n)
[pce] = S p(n)*c(n)*e(n)
[pde] = S p(n)*d(n)*e(n)
[pee] = S p(n)*e(n)*e(n)
[pfe] = S
p(n)*f(n)*e(n)
[pge] = S p(n)*g(n)*e(n)
[paf] = S
p(n)*a(n)*f(n)
[pbf] = S p(n)*b(n)*f(n)
[pcf] =
S p(n)*c(n)*f(n)
[pdf] = S p(n)*d(n)*f(n)
[pef] = S p(n)*e(n)*f(n)
[pff] = S p(n)*f(n)*f(n)
[pgf] = S
p(n)*g(n)*f(n)
[pag] = S p(n)*a(n)*g(n)
[pbg] = S
p(n)*b(n)*g(n)
[pcg] = S p(n)*c(n)*g(n)
[pdg] =
S p(n)*d(n)*g(n)
[peg] = S p(n)*e(n)*g(n)
[pfg] = S p(n)*f(n)*g(n)
[pgg] = S p(n)*g(n)*g(n)
[pah] = S p(n)*a(n)*h(n)
[pbh] = S p(n)*b(n)*h(n)
[pch] = S p(n)*c(n)*h(n)
[pdh] = S
p(n)*d(n)*h(n)
[peh] = S p(n)*e(n)*h(n)
[pfh] = S
p(n)*f(n)*h(n)
[pgh] = S p(n)*g(n)*h(n)
Normalgleichung B.
[paa] du+[pab] dmy+[pac] de+[pad] dP+[pae] da''+[paf] dJ+[pag] = [pah],1,0,0,0,0,0,0
[pba] du+[pbb] dmy+[pbc] de+[pbd] dP+[pbe] da''+[pbf] dJ+[pbg] = [pbh],0,1,0,0,0,0,0
[pca] du+[pcb] dmy+[pcc] de+[pcd] dP+[pce] da''+[pcf] dJ+[pcg] = [pch],0,0,1,0,0,0,0
[pda] du+[pdb] dmy+[pdc] de+[pdd] dP+[pde] da''+[pdf] dJ+[pdg] = [pdh],0,0,0,1,0,0,0
[pea] du+[peb] dmy+[pec] de+[ped] dP+[pee] da''+[pef] dJ+[peg] = [peh],0,0,0,0,1,0,0
[pfa] du+[pfb] dmy+[pfc] de+[pfd] dP+[pfe] da''+[pff] dJ+[pfg] = [pfh],0,0,0,0,0,1,0
[pga] du+[pgb] dmy+[pgc] de+[pgd] dP+[pge] da''+[pgf] dJ+[pgg] = [pgh],0,0,0,0,0,0,1
Alle Rechte vorbehalten (all rights reserved)
, auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherung in elektronischen Medien, Translation usw. Dasselbe gilt für das Recht der öffentlichen Wiedergabe. Copyright © by H. Schumacher, Spaceglobe. |
